ГДЗ решебник ответы по математике 6 класс Никольский учебник

1.1. Отношения чисел величин № 1. а} отношение числа а к числу Ь- это частное не равных нулю чисел а и Ь. Числа 212 и 3 - члены отношения No 100. а} 1 м = 100 см; ¼о• 100 = 5 см - составляют 5% от 1 м; --fio* 100 = 17 см - составляют17%от1 м; ~ * 100 = 23 см - составляют 23% от 1 м; ~@i~~~@@ш в) 1 кг= 1000 г; 10() • 1000 = 50 r - составляют 5% от 1 т; -lio* 1000 = 170 r - составляют 17% от 1 ц; --lfo- * 1000 = 230 r - составляют 23% от 1 ц №1002.а}а5в б}а< в<с число а меньше или равно числу в N~r"'\""~e~e~лo,o~r'::\~ ~ v~чарt!~Вrвемслrf)н~по~~льнаrчt~( n ) I н I № 1007. а} а= 12,32 = 12,3 в= 0,1 = 0,1 а-в= 12,3-0,1 = 12,2 б} а= 0,(2) = 0,222 ... = 0,2 В=-2,323 = -2,3 ~ro,-~, - ,rn-,,rБ ~Гг;'\@ 0f,0,,, i'-в'----,' & ) ~ : ~2) - 3',1 ... - 45, в= Q,(2} = ,222 ... = 10, а - в= 45,6-10,2 = 35,4 № 1008. а) 3,5 + 3,(5) = 3,5 + 3,555 ... = 3,50 + 3,56 = 7,06 тз~, -,5~66~,з,2~-, ш + ,( ,3 ,3 3... 2 5+0 3 8 5 З -7, 1 .tis, 6.. ·ь 3 ,о № 1009. а} 11,(4)- 7,3 = 11,4444 ... - 7,300 = 11,444- 7,300 = 4,144 ~5}-~- ~-3~- 2,152~, ш Гli,(%3 -2 3 = ·3 ~-Р\1, 3 ._ = ,939-, _ ,s~ ,3'11'7 б Bl ,3 \),вв .. - , ое,, в - - 55 № 1010. а} 1,3 * 12,(1} = 1,3 * 12,111 ... = 1,3 * 12 = 15,6 = 16 ~о,(~-, ·~--,о~з,о~, ш r1,(}.) ~, } ... 1;;2 .. = ,1 ~ 6,2 = 6, _2 _ n 2 } (1 12 4 5... ,1 11 ... - О - 3 - ЬJ № 1011. а} 3,2: 0,(2) = 3,2 : 0,2222 ... "'3,2 : 0,222"' 14,414414 ... "' 14,4 W~',~ws~з~:,,зG.JQM ~ ~;1;:,;~~~~~8,!) ),~'е)~~~ № 1012. а} Если к числу прибавить О, то число не изменится: а+ О= а ДОКАЗЫВАЕМ № 1013.}]"rof "@л й ~'f'YO ,Wpase/,;JГn"\00 а* в с-с - т.к.а вЬь -~u~ ь 'о с Ni е ч о, м м оизведение двух отрицательных чисел с а - в)> О с* а-с* в>О а* с>в * с ~ю~ножи ~л~раее"@@Ш ~ ,.fрто у а ,- *R-) - -а лиа2> о т.кJ-вl...> , - * -в -в ( } !Jи · • в Q и в<а, итв <а № 1014. а} Переместительное свойство умножения: а * в= в* а № 1015. а <в, тоа +с< в+с No 1016. а} I х-5,311 = 1 из этого равенства можно записать 2 других: х-5,31=1 и х-5,31= x=l+S,31 и Х=-1+5,31 х=6,31 и х=4,31 Можно записать 2 таких числа. 6) 1 х-s,з11 < 1 из этого неравенства можно записать 2 других: в} I х-5,311 > 1 из этого неравенства можно записать 2 других: х-5,31>1 и х-5,31<-1 x>l+S,31 и х<-1+5,31 х>б,31 и х<4,31 Можно записать множество таких чисел, например: 12; О № 1017. а}68" 48+68" 52 = 68 * (48+52) =68 * 100=6800 б} 59 * 37 + 59 * 63 = 59 + (37 + 63) = 59 + 100 = 5900 ~~. g,~вw,7~100 00--- "ь.7 - з 1 п,- з 7 10 7 О 8 * "3 :bl.z " ( О 2 )- -3 О ) + 5 " ( + Ор,56 ООО IO № 1018. а} 352 * 18: 9 = 352 * (18: 9) = 352 * 2 = 704 ~,~. _ (~-,.~.,б@@Ш бь_* 6·3 = * бj:"\12)= • =37 о >у 1 6 ;;' • 1И • ~ 1 • '(:J № 1019. а} 25 * 7 • 8 = (25 • 8) • 7 = 200 * 7 = 1400 6)13 * 12 * 25=(13 + 3} * (4 * 25}= 39 * 100 3900 в}2~* 3~ = ~*~= ~ =~ = 8~ ~)(:Sfl~~)=,>~·~4~~~~~~ 2 ' 2 ' 2 50 so 100 ' №1020.~ffis(б~ ~}~ ~~0,0(654}00 5.6. Длина отрезка №1022. А В М Р ~&@§ сt3,1.о@@Ш №1023. ~id~\1@3µ) ~~ 2,3125"' 2 - с точностью до 1 с недостатком 2,3125"' 2,3- с точностью до 0,1 с недостатком ~~-2,шl WО~ош@@Ш ' ~ 3 1 ~ 'i:J.' о ~ 3 , точн до 1 остат о€) 3,(61)"' 3,6- с точностью до 0,1 с недостатком 3,{61)"' 3,61 - с точностью до 0,01 с недостатком № 1028. 3;; = 3,191919... 3,(19) 3,(19) = 3 - с точностью до 1 с недостатком 1§,l~ю" ~1 недо а,,о~@Ш ,{ 9h"' ,1 - IQД,o ,О н достат о О 9 3 - оч ь\Jд О н вз тком , = , 91 - с точно до , 1 с недостатком 5.7. Длина окружности. Площадь круга. № 103. а} 1 • ¾о= ¾о числа составляет 1 % 6} 5 • ¾о= ¾о= -J.o числа составляет 5 % в} 10 • ¾о=~= -fo числа составляет 10 % ж) 75 • ¾о= -{fo- =¾числа составляет 75 % з} 100 • ¾о=~= 1 числа составляет 100 % № 1033. а} С1 = 2пR - длина окружности радиуса R С2 = 2п * 3R = бпR- длина окружности, радиус которой увеличен в 3 раза ~~о~и~раsа~@[Ы и к ж ст у R о тт' :Ц, и, Р@ юро мень , С2:С1=ы=2 Ответ: длина окружности уменьшится в 2 раза. № 1034.а) С= 2ттR1 - длина окружности радиуса R1, о,руж;~~ ~ ~ ~@М ю~0~о~ Ш радиус окружности уменьшится в 7 раз. № 1035. а} С= 2пR1 - длина окружности радиуса R1, R2 = R1 + 3-увеличенный радиус, С2 = 2пR2 = 2п(R1 + 3)- длина окружности радиуса R2, С2 - С1 = 2п(R1 + 3) - 2пR1 = 2пR1 + бп - 2пR1 = бп ~m·дл,~" ел~абтт~@@)Ш ! R- oкy>ft1o и и aR1, о =-мшыЦаис, Q 2 = 2 = 2n 1 - - а окружности радиуса R2, С2 - С1 = 2п(R1 - 3) - 2пR1 = 2пR1 - бл - 2пR1 = - бп Ответ: длина окружности увеличится на бл = 6 + 3,14 = 18,84 см. № 1036. а} С= 2лR1 - длина окружности радиуса R1, С1 =С+ 6,28 = 2лR2 - длина увеличенной окружности, 2лR1 + 6,28 = 2лR2 2лR2- 2лR1=6,28 2л{R2 - R1) = 6,28 R2- R1= 6~:в"" 2::.:4"" 1 ю,ди~,~~см.@@Ш .(wн о . о з ь л Pv сМ: Q С : , де d - диаметр окружности п • АМ: 2 =~-длина маленыюй красной полуокружности, п • МВ: 2 = тт:зх - длина маленькой красной полуокружности IHX JНЗХ IH4X ~ ~~~e~::·,:':~"cv '~ ГгJ(о1у Uтumx ~о~,~~~~L1'~ркрасных полуокружностей, АВ = 4х - диаметр синей полуокружности, л'АМ?~,:~~~:~:::и7г3у@)ж~и, м ht~~~:t~вD~ Ш Доказываем №lоз,.~.,r~уж~итдW, ГгJ@~ ~ок:Уб:хс;3:~~!ш:1:уtr~~:Zэт:му ~и:аь:ольной полуокружности всегда равна сумме длин малых полуокружностей. Запишем радиусы полуокружностей: 1 полукружность с диаметром АМ: R1 = ~, 2 полукружность с диаметром МВ: R2 =~, 3 ол р оеос~~~ ГгJ@М ~а:и ~. '.~rrf~ о\_2:) о ш 1 2 2 2 2 (2=¾*27f*R2=¾*2If*~ тт*~ (=¾* Zn* R =¾* 2n: *~=тт *~ :~;~с~~::)~~ п::t~С~~J::?в:1~к~. № 104. а) 50 %- это¾ числа, ¾* 400 = 200 ~"-,ю' ,W' о~~ I 54' ,,~~--.~,в~· rr:J@M 175 -э~ *8= * - о~ UU № 1040. S = а2 = 42 = 16 см 2 - площадь квадрата, S = п • R2 = п • 42 = lбп см2 - площадь круга, № 1041. S = а2 = 42 = 16 см2 - площадь квадрата, 4 : 2 = 2 см - радиус полукруга, ~S0тт' R' :",:·:~ 2°,:;см'~-,олощадоа@олу,руса@Ш ипо кр а и{tп о а а;1.е та, О - л-1 8 • 3 = ,12..)1 = 2 Ответ: 8 п -16 = 9,12 см2 № 1042. а} 12 : 2 = 6 см - радиус полукруга, ~'1· -л'ffi'· §' ло~у,ру~оо qr п етьре оу о, . _- 4: : 3: _ !'J. ""' ~~лу:,,w,о~,,- дд ' 4 * 6п = 24п см - длина четырех полуокружностей, Ответ: 5 = 144 + 72п см2; С= 24п см б} 6: 2 = 3 см - радиус полукруга, S = п * R2: 2 = п * 32: 2 = 4,5 п см2 - площадь полукруга, 8 • 4,5 п = 36п - площадь восьми полукругов, 12 * 12 + 36п = 144 + 36 * 3,14 = 144 + 113,04 = 257,04 см2 - площадь фигуры. С= 2п * R: 2 = 2п * 3 : 2 = 3п см - длина полуокружности, С= 2п * R: 2 = 2п * 2: 2 = 2п см - длина полуокружности, 12 * 2п = 24п см - периметр фигуры. Ответ: 5 = 144 + 24п = 219,36 см'; С= 24п см r) 12 : 4 : 2 =¾см - радиус полукруга, S = п * R2: 2 = п * {¾/: 2 = ;п см2 - площадь полукруга, 16 * ;п = 18п - площадь шестнадцати полукругов, 12 §~: ~;~:~:::~2@)00,52 сммдофисуры. ~:Q~~:~2.~ о~ О Ш № 1043. R - радиус Земли первоначально, С= 2л • R - длина обруча первоначально R1 - стал радиус Земли после увеличения обруча, ~):~:@Io5~ о@@Ш R1 - R =;;"' 2,3,14 ""'6,28""' 0,1592 м = 15,92 см Ответ: кошка сможет пролезть в зазор 15,92 см 5.8. Координатная ось. №Wд,,~,Q,w,.,,Q~~'°""· ~ ,rжve,~~в&нUje~1~~0UU № 1046. а} Точки, координаты которых являются рациональным числом, называются № 1047. E"'JF;i'j""'\ "'° ~~""F,;"'o/o "~~~рой'°"" на~сйf / л \ ( ( г=; l n 1 7 /r... ( ( ':"( n J I н I №1048. а} О 1 2 З 4 5 I I I I I I I I 1 о -1 -2 -3 -4 №1049. :1~~~р~~ No 1050. а} О ~ ~ ~ ~ ~ ~ !... 1 111 r r r r 11 1 1 • ~Щ(~П)~"°~@Ш I I 11 '1 '1 I 11 1 1 1, №1051. ~1Ж~1~Ш~~w №1052. а} -~ _.!. _.!. О .!. .!. ~ ~ ~ ~ ?_ 111 i I i 1 i 11 i 11 I ~dabl)~d@Eoo I I I I I I I I I I I I I I I I· г) -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 О 0,5 1 1,5 I I I I I I I I I I I I 1, №1053. а} 10 11 12 13 I I I I I I ·I б} -25 -24 -23 -22 I I I I I ·I в} 100 101 102 103 ~oCS@W д) 60 70 80 90 100 е) -30 -20 -10 О 10 №1054. а} 2 2,1 2,2 2,3 2,4 I I I I I I ·I 6) -3,2 -3,1 -3 -2,9 -2,8 I I I I I I ·I в} 0,01 0,02 0,03 ~~oCS@W д) 4,053 4,054 4,055 I I I I ·I е) -10,03 -10,02 -10,01 No 1055. '~МСВ1tЮ ~ о@@Ш 6) в} О 1,5 г) О 7,2 д) О 4 ж) -1 О з} -2 О 1 и) О 1 2 uЫ~ffi~v@@~ 5.9. Декартова система координат на плоскости № 1056. д{2; 3): 2 - абсцисса, 3 - ордината В(О; 4): О- абсцисса, 4- ордината ШСIЗ;Оj,з-_,~бс~,:"'':,орд,:;·~'," @@Ш N- 1120-1 ; о д натн 1йу ол, Q О- 3 координатный угол, L- 2 координатный угол, К-1 координатный угол. № 1058. Точки I координатной четверти имеют обе положительные координаты; точки 11 координатной четверти имеют отрицательную координату х и положительную № 1061. Утверждение, что между точками координатной плоскости и упорядоченными парами чисел имеет место взаимно однозначное соответствие означает следующее: 1) Каждой паре точек поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел - координаты ~i~~:§2:~:~~~~1::аары No 1063. -3 • в 8д eD № 1064. A(S; 1) С(-5; -4) В(-4; 2) D(4; -2) 5(-3; -2} Z{-3; О) Q(l; -4} Р(О; 4} №1065. --~ ,.....--.,---,_,--------, ,------,----, ------- Г\/ r\'r r; ~ I\ I С? h] D' 7 h l ( hl о )j I j '- ILJ '--' ~ 1--'L 1--/ -~ ~ ~ - 2 о 1 -5 -3 о 1 4 5 ' -2 в -4 с - -~ - - ~ 1"1 ''(/ ~ I C?l J D /~,.J С(( о )] t1 '- ILJ '--' ~ 1--'L 1--4--' -~ ~ ~ - Е 2 1 -5 -3 о 1 4 5 N м ' -2 rir РГ v-'" р ½ ~ с;; D (: Or ,..------_ \~/ I Г'- In ~[ l~j s \!, Uc и___.) ~ о ( )\: t:)\ I\J lc_1:) ,_____, r-----" №1066. №1067. r;J:J\ 1~JDI~ ,!\~lo~~~ ~ ,~ ,_, ,_ ~- +-' - ' 1\ 1/ \ I"'-- 11 ' V 1 -5 -3 I~ о/ k' 4 5 I / \ ' I',, 1//, ~ -4 б} 4 Г"-. ~ 2 1 -5 -3 О 1 4 5 Г\ ~ 1)/ 1\ Гг:- j ½ Г\ ½Р 1) (1 µI n ,~ .~ L ~ Li = Uc h--' L µ( ) \__ v' 'Lie I'----' ~ -4 ,} 4 2 / 1\.. 1 / 1\.. -5 -3 /, 4 ~ "'---,... .,.l-Y' -2 ', /v ~/ I"'-.. lc;-i ьr I\ 1,:-ll 1 ":',Z.Г) (~~~61 ) ) "\ \J: I И ( r-l c,\.h '---1)~ t;? №1068. ГlГ ,h v-h l,t----- Г~l g,c-----. ll/- "1\ ,_ • (гс::: I tr/, ( ·1 i'- _-С YJ ~~ ILL,, .,,, _v1 01----., I' ' _,v ' / 5 --- ,v \ 3 / 1 !'..... ,/, _,/ /г,г '"' ,-; l [С', t----- _, ,, fJ I -т l/ \> " ' ' -,,,, 9 I • I le -1 /, 1 L: I~ } I'- //' _L JL J ~ .uL _., L_ __, - - l _J - V \ -3 7 -5 I J I /, I п'-~г '-. ,- ,, ' 1----.. Г~l ~ l f-, ,с-- I • ( (с =с. l ,т /, ,f~ I lн r 11 l_ J _) - - V -'- No 1069. -2 Точка пересечения отрезков АВ и СО-точка К(О; 1) No 1070. Точка пересечения прямых АВ и CD имеет координату (-3; О) ПРИДУМЫВАЕМ ЗАДАЧУ. N~, "'~~'~""'~~~ ,_1.1 211 6 ,_,1111_•1- _l,-6;01,-B_, ,_111:,1- 2,l,-;-11, - , 1 1 , 1, 1 , 1,4', 1 6, - 1, 7QI 9, з , 'rf ме точку ;- ). 5.10. Столбчатые диаграммы и графики. №~1072. В~:::,:~':.•:':':::~::' и~15д::о::'·@@Ш гJ.м- ь и в ву кf,сс х: =28 О его ев ч в ласса 1 + = О всего учащихся в двух классах: 28 + 26 = 54 №1073. " " ,с s t?&@J~I с Ч><слоучащ~хся № 1074. Через 3 мин температура в чайнике была 40°, № 1075. а} рыболовы пришли к озеру в 7 ч. 6} С] Ч ДО 8 Ч 45 МИН ОНИ ЛОВИЛИ рыбу ' р "' "'"~"'" 5~-' -~ ~@® пекмlwио ь5&/ О м ин еха а ос ью5 : Q -~ *675 = =40км/ч № 1076. а) в 4 ч температура была -2°; в 8 ч температура была 0°; №1077. Выше 0° температура была в течении 7 часов; ниже 0° температура была в течении б часов. № 1078. а} Через 0,5 часа после выхода первого пешехода из пункта А второй пешеход вышел из ШМоо~аQо~,_,~~ в;~~~~~~~G~Ю Дополнения к rлаве 5. 1. Задачи на составление и разрезание фигур. Ответ: покрыть фигурами домино нельзя. №1080. ЕНЕ ~Lfs@-itlli~o@@Ш ЕЕт №1082. №1083. 't?~Ш~о@@Ш №1084. №1085. •~~oCS@W № 1087. Это можно сделать только 2 способами: №1089. № 109. а} 25 % + 75 % = 100 % учащихся участвовали в соревнованиях Ответ: в соревнованиях участвовали все учащиеся класса 6).80%+15~¼09 %ма ш y,aoga,,, , « ьооэ @@Ш тет~ои,р .хал н вgь а Р. Г'1 О 7 + = н m ~ Ответ: Маша потратила все деньги № 1092. Пусть имелось х руб, на них можно было купить 1 единицу товара. Купили Х акций, тогда х = Х • 60. Т.к. акции стали стоить 80 р., т.е. денег стало Х • 80 = {;; * 80 = ~ = ~ № 1093. Пустьх-учеников в школе всего, О,45х - мальчиков в школе, О,55х - девочек в школе, ~~45,~- -§]о,~бепfG@Ш ,;! + R, Sx о д о'r\к и е трое , о ',3+2х,3 d.с,kгун ~о ,, - , ¼, хе б~тро Ответ:35,5% № 1094. х кг- было картошки в баке, О,2х - составляют очистки, х - О,2х = О,Вх - очищенной картошки станет через 4 часа, у кг - картошки необходимо для того, чтобы начистить х кг картошки (бак} ~r.1:rы w ~ ГгJ(n)ffi ul:t1~Jl~~ ~~&, , xJk..u и , · :х- , 4Q5ч на т ки Ответ: за 5 часов № 1095. х - голосов было всего, у- голосов отдали за «Ананас», у= 0,1 • O,Sx = O,OSx - отдали за «Ананас» после подсчета половины голосов. Наименьшее количество голосов будет, если за «Ананас» во второй половине голосов "~~оса , ~~5%&®~ На б л etJ.< и ее в ло в[о/д т, и а «Ан н » втей е голосов все про л ю а , с т Q 0,0 , = , х или . Ответ: наименьшее число голосов - 5%, наибольшее - 55%. Доказываем. АМ =МВ= AN= BN (радиусы равных окружностей}, MN - общая сторона, треугольники равны по 3 признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответственные элементы равны и поэтому < AMN = < NMB №1097. Ш~о@@Ш ~ ~{:\0~ чi),~рс,r:г?@Ш ~t:jf:Х~~t.=нимеесточка~. Од= ОВ, т.к. а - серединный перпендикуляр, ,1c;;:;,~v~~r;'j'c,oЩ@~I''ocтpe!icФл.t1~~!~:t=J:QP,:o,, ;,:S,:,.,,, от точек А, В. №1098. ~~~~~ д i"li_= (р Ы р В IX К Н ей), :о А <А ,:< ~,Dp у л, , ,eo\sefcr МО и NO - общие стороны треугольников. Значит, Л АМО = Л ВМО и Л ANO= Л BNO. < МОА = < МОВ, а это углы смежные, их сумма равна 180°, ®Mlc № 1154. а} 751- 387 - 551 + 387 - 600 = (751- 551) + (387 - 387) - 600 = 200- 600 = - 400 ~,fi4_4,9fIOs~0~•4,9~ =f~1lsJJ~!4\:\4~1JsU)=J1y LJ-i n\ ~\ U )) tj ~ № 1155. а} 4,6 • 7,3 + 5,4 • 8,5 + 4,6 • 8,5 + 5,4 • 7,3 = 7,3 • {4,6 +5,4) + 8,5 • (5,4 +4,6) = = (7,3 + 8,5) • 10 = 15,8 • 10 = 158 б} 9,8 • 17,42 + 9,8 • 5,58 -1,8 • 17,42 -1,8 • 5,58 = 17,42 • (9,8- 1,8) + 5,58 • (9,8-1,8} = = (17,42 + 5,58} • 8 = 23 • 8 = 184 ,11·, 9,з~·, ~· ,1§''·'@@5il = 3 • 8§_+2, ) • ,8~ 1 ( ,37-, • =t::,1 6 г) 4, 7 ,7 4, 4 • , 7, *11,1 ,46 , =77. • , )- , 4, ,46)= , -R·1 =70· =84 =42,3 + (75,9-65,9) + 1,77 • (628-528) =42,З • 10+ 1,77 * 100 =423+ 177 =600 № 1156. а}¾+ 2,7 = 0,25 + 2,7 = 2,95 6} 4,1 + i = 4,1 + 0,4 = 1,64 в} 2,9- 1¾ = 2,9-1,75 = 1,15 W~;~~,w_ ГгJ@)М е6ЪW~~~о~ Ш ж)f:о,з = ¼: fo=¼*~=f= if з}2¼:4,5= ~: *=~**=~=¾ № 116. Сушеные груши составляют от свежих груш часть, равную~. = 25 - 38,42 = 86,58 б} 3¾- (1¼- 4,25): io = з¾- (7,5 - 4,25): 0,45 = з¾-з,25: о,45 = з¾- з25: 45 = ~8,';~~/ '~~&~@®~'+'~ 5 ' ' 5 5 10 10 5 5 27 10 1В 1•3 2•2 З 4 L6+9 7 12 12 No 1161. а} 4,526 + 12½- (4; * 1,8 + 4,526) = 4,526 + 12,2 ~ • f- 4,526 12,2 - 1:•3 = 12,2 -~ = = 12,2 - 8,4 = 3,8 б} з¾: 2,4+ 9,888-{-fв+ 7,888) =~: ~ + 9,888--fв-9,888 =-f *~-is= *--fв =is=¼ ' '@3'W~ ~r~M ___ 49· _ , _ 5 _,_ s 9~ш ,Щ-1:: ,, i1"f\ 8' ;.~32, ,з:е:;0 = (4,sп-2,01зJ + з¼* (2~+ 1¾1 2,s +~• 4 = 2,s +~ = 2,s + 12,s 1s № пьз. а) (15: з,75+ щ5: 1,5 *i4): (1Н- 1¾) = (4+ 1 *~): (Н-*) = (4+¾) :* = i~~~53°0@®~,н~ №1163.а}х:7=5:8 Вх =7 + 5 б)х: 3 =4: 5 бх ь З + 4 в}2: х=З :4 Зх= 2 • 4 г) 1 :х =7: 8 7х= 1 • 8 № 1164. а);= f 7х=9 • 5 7х=45 " Х=- ' 6);=~ О,2х=5 + 3 О,2х= 15 в}~=~ 6х • 7=5 • 18 5•18 Х=- ,,, " х=- ' г) 7,5: (2х)=3 :0,8 2х • 3= 7,5 • 0,8 х = 7,::~,8 х = 2,5 * 0,4 7х=41 " Х=- ' х = 5~ 2х-3х= 3-2 - Х=-5 х=5 No 1165. а} 4х - 5 + 1,5 + 2 = 4х -1,5 +~9~,~9с~@ш] 7 х 5 - - 0,5 = 9 - , + , }- (Irз = ,3 ,зо 5-х бах ,1 No 1166. а) 3 (х - 8) + 2 (х + 3} + 24 = Зх - 24 + 2х + 6 + 24 = Sx + 6 ~+~I , +~-~+6,4~@" ·ш r'lix.,s: - (х = xf)'-3 _ + =4 Q ,s, , - +U1 ,Ef о № 1168. а} З(х - 5) + 5(х + 1) + 10 = Зх -15 + Sx + 5 + 10 = 8х ~'(аЗ' 2~с2~, +3,5~, с ·оо (Sxli: - (х Зх 5 5 Зх= 1 о ,5 lx, поэтому велосипедист догонит пешехода Ответ: велосипедист догонит пешехода ¾: ¾ = ¾ * 2 = ¾ = ¾ задания в день выполняет 1 человек, ¾ * ¾ = ¾ задания выполнит 1 человек за полдня ¾: ¾ = ¾ * 4 = 3 человека в бригаде Ответ: 3 человека в бригаде в} 1-f = f задания -оставшаяся часть, ;:~~,,z:n~:,~, ~@м s:~We~б~~o~ Ш Ответ: 3 человека в бригаде г) На 1 лугу работали:¾ дня - работала вся бригада,¾ дня - работала половина бригады, ¾+¾: 2 =¾+¾ =9=¾дня-вместе. На 2 лугу работали: 1 день работала половина бригады или¾: 2 = ¾ дня работы целой бригады, т.к. площадь 2 луга в 2 раза меньше, чем площадь 1 луга, то для его выкашивания № 1234. 12 • 14 = 168 часов 10 ветряных мельниц смололи 200 четвертей, за 168 часов 1 ветряная мельница смолола 20 четвертей, ~~ee~,a~и~~~nflolsa~, :~а~о~~дt~ьdа~ме}ь~2~ Ответ: 15 часов в день должны работать мельницы № 1235. а) 200: 0,2 = 2000: 2 = 1000 кг= 1 т картофеля нужно взять Ответ: 1 т картофеля 6} 200: 0,75 200: ¾ = 200 * ~ = ~ = 266¾ кг ржи нужно взять ~~66-~р у ,о, "~ @@Ш с/1: 8 2 . = 5с{,-п е ужн в т О е 5 к we и ь нужн зть Q г) 4: 0,32 = 400: 32 = 12,5 кг винограда Ответ: 12,5 кг винограда № 1236. а} 200 * 0,5 = 100- составляет 50% от 200 100: 0,2 = 1000: 2 = 500- само число ?м:;~~ о~бWа rr:J@)M ш10.=~~о~ ш '--ет:число 1 № 1238. а} 150 -120 = 30 р. - снизилась цена на рубашку 30: 150 * 100% = 0,2 • 100% = 20% снижена цена № 1239. Пусть х кг удобрений понадобится, О,8х кг - удобрений имеется, 11':,~w,~~, rr:J@)M ~e?4~~yre~U1ь~ о~ Ш № 124. lCIO- 70 = 30 % составляет изюм от свежего винограда so --:- * 100 =~О кг юма получится из 100 кг све; ~Rsv~з· ~мW,.c,{s,;,,..\ ~1·в=2~~g~~ № 1240. Пустьх марок -у 1 мальчика, (420-х} марок -у 2 мальчика, г.к. у одного было на 10% больше, чем у другого, составляем уравнение: (420- х}- х = 0,lx Ответ: 200 марок было у 1 мальчика, 220 марок было у 2 мальчика № 1241. Пустьх рабочих всего на заводе, тогда женщин -О,35х, мужчин - О,65х, г.к. мужчин на 504 человек больше, чем женщин, составляем уравнение: О,65х - О,35х = 504 Ответ: 1680 рабочих на заводе № 1242. а) пусть х - меньшее число, х + 20- большее число, г.к. одно из них больше на 40%, составляем уравнение: х+20=х+О,4х х+20= 1,4х О,4х= 20 х=20 :0,4 х = 50- меньшее число ~GS,~~~@2)Ш qfb-e чслх2бьшееил О , о ":/а,:, ,°л ,~40 , о ''f!Ji ,,,; , х+20=х+О,4х+8 О,4х= 12 х=12 :0,4 х = 30- меньшее число Ответ: меньшее число 30 №1 1243. Пусть х - было жуков, бх - ног у всех жуков, (12- х) - пауков, 8(12 - х)- ног у всех пауков, г.к. всего у них 80 ног, составляем уравнение: 12-8=4-паука Ответ: 8 жуков, 4 паука № 1244. 72 • 50 = 3600 центов стоят все орехи Пусть х кг - орехов по 90 центов, (50- х} кг- орехов по 60 центов, составляем уравнение: 50 - 20 = 30 кг - потребуется орехов по 60 центов Ответ: потребуется 20 кг орехов по 90 центов и 30 кг орехов по 60 центов No 1245. Пусть х км - пройденный путь,~ ч - потребуется на путь со скоростью 4 км/ч, ¾i = ~ ч - потребуется на путь со скоростью 5 км/ч, т.к. ему потребовалось бы на 1 ч меньше, составляем уравнение: ~@Ш~о@@Ш х ь т :m= 1 *20 = 20 км-путь 20: 4 = 5 ч шел пешеход Ответ: 20 км весь путь, шел 5 ч № 1246. пусть х км - расстояние между городами, fo ч - потребуется на путь со скоростью 80 км/ч, во:20 = "ii; ч - потребуется на путь со скоростью на 20 км/ч меньше, г.к. ему потребовалось бы на 1 ч больше, составляем уравнение: Х= 1 :zk- X = 1 * 240 = 240 км-расстояние Ответ: 240 км расстояние между городами № 1247. Пустьх га- выработка по плану, 5х га -площадь поля, (х + 2,5) га - выработка после увеличения, 4(х + 2,5} га - площадь поля, составляем уравнение: Ответ: 50 га площадь поля № 1248. пусть х дней - должны работать по плану, ЗОх приборов составляет план, (х - 2) дня - работали фактически, 34(х - 2} приборов составляет план, составляем уравнение: 30 • 17 = 510 приборов - должны изготовить Ответ: 510 приборов должны изготовить, 17 дней работать № 1249. пусть х дней - должны работать, 250х машин - изготовят, 250х + 1000 машин - составляет заказ, 320х машин - изготовят, 320- 400 машин - заказ, составляем уравнение: 6000: 20 = 300 машин в день нужно изготовить Ответ: 300 машин в день нужно изготовлять № 125.~ * 300 = 40 * 3 = 120 голова содержится в 300 г припоя ~~~~ , ,с~е ж ""~"®' ~ О· ..А( О - 2f) 1 4 в а со ер и с в@г и е 7 г вин о ержи я 300 г @ № 1250. пусть х - учащихся в классе, составляем уравнение: lх+Зб= Зх-12 Ответ: 24 ученика в классе, 60 тетрадей №1251.2р.=200к. пусть х -учеников было, 15х + 200 к - стоит подписка, но и 25х - 200 к - стоит подписка, составляем уравнение: ;~:.~:~@ Ш ~ о@@Ш 15 * 40 + 200 = 600 + 200 = 800 к.= 8 р. - стоит подписка Ответ: 40 учеников было, 8 р. стоит подписка № 1252. пусть х-человек было, (8х-3)-стоит вещь или (7х+4}- стоит вещь, составляем уравнение: Ответ: 7 человек, 53 денежные единицы стоит вещь № 1253. пусть х человек было, (9х -11)- стоит курица или (бх + 16}- стоит курица, составляем уравнение: 9х-11=6х+16 Ответ: 9 человек, 70 денежных единиц стоит курица № 1254. пустьх мин - работал первый, (х + 25) мин - работал второй, 3х штук картофеля очистил первый, 2(х + 25} штук картофеля очистил второй, г.к. вместе они очистили 400 штук картофеля, составляем уравнение: 3х+2(х+25}=400 70 + 25 = 95 мин= 1 ч 35 мин - работал второй Ответ: 1 ч 10 мин работал первый, 1 ч 35 мин работал второй. No 1255. пусть х км/ч - скорость слона, ¾х км/ч - скорость медведя, т.к. скорость слона на 25 км/ч больше, составляем уравнение: х-¾х 25 ~О-~~~ ~@)М U~з~Шл~О~ uu ¾ * 35 = 2 * 5 = 10 км/ч - скорость медведя Ответ: 35 км/ч скорость слона, 10 км/ч скорость медведя № 1256. 8 * 8 = 64 часа - вместе отработали обе бригады Wl~aco~, иca~,}"(Sl@J'M' :/? 1 р б гпо нDт ча 6 гада, о - р оть в I олнит б ига а Q 1 : 112 = "ii2 работы выполняет в час 1 бригада, (64- х) * fi;- =~работы выполнит 1 бригада, г.к. вместе они выполнят всю работу, составляем уравнение: ~@Ш~о@@Ш х+64= 112 х = 112 - 64 = 48 часов - работала 1 бригада № 1257. пусть х - деревьев на пришкольном участке, -;jx деревьев - окопал один класс, ' в х -zox = zox - остаток, 3 13 39 V 5 * zox = WOx - деревьев окопал другои класс, составляем уравнение: -;jx+~x+52=x ,=,~~~Ш~о@@Ш so х=52 :*= sz*°ii= 4* so= 200 х = 200 деревьев на пришкольном участке Ответ: 200 деревьев на участке № 1258. пусть х р. - зарплата рабочего, i5x р. -уплатили за квартиру, ' " х -35х =35х р. - оставшиеся деньги, 5 33 З _ l1 * 35х =7х р. - на покупку вещеи 2 З 2+15 17 35 х + 7 х = ~ х = 35х р. - израсходовал всего fi@5§~"~@@ffi""""" 35х = 320 х = 320: -fr,= 320 * 35 = 11200 х = 11 200 р. - зарплата рабочего Ответ: 11200 р. составляет зарплата № 1259. пусть х кг яблок завезли в каждый магазин, ¾х + 30 кг- продали в 1 магазине, ¾х + 40 кг- продали во 2 магазине, г.к. яблок в магазинах продали поровну, составляем уравнение: ~!@:\~~oCS@W х = 10: --fz = 10 * 12 = 120 х = 120 кг яблок привезли в каждый магазин Ответ: 120 кг яблок привезли в каждый магазин №126. l24детали ---------60% l х деталей --------- 100 % tflJь~л[o)'~ о@@Ш х = ~ = 40 деталей должен обточить за смену токарь Ответ:40деталей № 1260. пусть х - мальчиков в классе, тогда их - девочек в классе, ¾х + 3 мальчика пришли на дискотеку, ¾х + 6 девочек пришли на дискотеку, т.к. девочек и мальчиков пришло поровну, составляем уравнение: ¾х+З=¾х+б ~~Ш~о@@Ш х=З:¾=3*6=18 х = 18 мальчиков и 18 девочек было в классе 18 + 18 = 36 учеников в классе Ответ: 36 учеников в классе № 1261. пусть х часов - прошло от полуночи, (12 -х} часов - осталось до полудня, ¾х = ;с12 - х) ¾х=¾*12-¾х Ш'@П) ~ о@@Ш х =8 :* = 8 ** = ~ = 7¼ч 7 ч 30 мин -прошло от полуночи Ответ: сейчас 7 ч 30 мин утра № 1262. пусть хм - длина 1 части, 3,Sx м - длина 2 части, 2,Sx м - длина 3 части, г.к. длина всей веревки 28 м, составляем уравнение: х+З,5х+2,5х= 28 ~~ w~ ~ ГгJ@)М LS~Ш~o~ Ш 2,5 • 4 = 10 м - длина 3 части Ответ: длины частей веревки 4 м, 14 м, 10 м № 1263. пусть х лет сыну, составляем уравнение по условию задачи: х+х+¼х=10 ii@~~o@@Ш х=4 года сыну Ответ: 4 года сыну № 1264. пусть х лет человеку, ¾х лет - половина, ¾х лет-треть, ¾хлет - четверть, составляем уравнение x+¾x+fx+¾x= 100 Ш@IQ) ~о@@Ш x=lCIO :12 = 100 *25= 4 * 12 = 48 х = 48 лет человеку Ответ: человеку 48 лет № 1265. пусть х - гусей в стае, составляем уравнение ' ' х+х+2х+4х+ 1 = 100 ~@~~о@@Ш х=36гусей в стае Ответ: 36 гусей № 1266. пусть х марок - подарили российских, (25 - х) марок - подарили иностранных, (210 + х} марок - стало российских, 65 + (25 - х) марок - стало иностранных, г.к. российских в 3 раза стало больше, чем иностранных, составляем уравнение: 3(65 + 25 - х) = 210 + х х = 15 марок подарили российских Ответ: 15 марок российских подарили № 1267. а} пусть через хлетотецстанетстарше сына в 3 раза, 32+х= 24+3х 3х-х=32-24 2х=8 № 1268. 12 : 3 = 4 года сестре сейчас, через х лет брат будет старше сестры в 2 раза, 12 + х лет - станет брату, 4 + х лет- станет сестре, х=4 года Ответ: через 4 года брат будет старше сестры в 2 раза №11269. а} пусть хлет-дочери сейчас, 8хлет- матери сейчас, 8х-4х=16-4 4х=12 х = 3 года дочери сейчас № 127. а} 100%- 75% = 25 % маршрута составляют 5 км 125 % ------------- 5 ,м 1 100%------------хкм прямо пропорциональная зависимость " ' юо х; 25 * х ь З * 100; х = 5*215°0 = 20 км - длина маршрута ц~JSi§;§'rБ"~@@Ш прямо пропорциональная зависимость '°' 95*х 19* lCIO; х = 19:~оо = 20 км - длина маршрута Ответ: 20 км длина маршрута № 1270. а}пусть х лет - сейчас сыну, 3х лет - сейчас отцу, 12 • 3 = 36 лет - сейчас отцу пусть через у лет отец будет в 2 раза старше сына, 12 +улет- будет сыну, 36 +улет - станет отцу, г.к. отец станет старше в 2 раза, составляем уравнение: 2(12+у) =36+у 24+2у=36+у 2у-у=36-24 у= 12 2х=24 х = 12 лет - сейчас сыну 12 • 3 = 36 лет - сейчас отцу пусть через у лет отец будет в 5 раз старше сына, 12 +улет- будет сыну, 36 +улет - станет отцу, г.к. отец станет старше в 5 раз, составляем уравнение: 5(12+у) =36+у 60+5у=36+у №1 1271. пусть х л - молока было в 1 бидоне, (70- х} л - молока было во 2 бидоне, (х - 20) л - молока стало в 1 бидоне, (70- х - 20} = (50- х) л - молока стало во 2 бидоне, г.к. в одном бидоне осталось в 2 раза больше, чем в другом, составляем уравнение: 2(х-20}=50-х 70 - 30 = 40 л - молока было во 2 бидоне Ответ: 30 л молока было в одном бидоне, 40 л молока было в другом бидоне No 1272. Пусть у двоих первый раз станет по х слив, тогда в первый раз у первого было х - 2, а у второго х + 2 сливы. Второй раз у первого станет х - 4, а у второго х + 4 слив. По условию задачи х + 4 в 2 раза больше, чем х - 4, составляем уравнение: 12- 2 = 10 слив было у первого 12 + 2 = 14 слив было у второго Ответ: 10 и 12 слив было у мальчиков № 1273. пусть (х + 100) рупий - было у второго, х рупий - стало у второго, когда он отдал первому 100 рупий, г.к. первый стал в 2 раза богаче, то у первого стало 2х рупий, (х + 100 + 10) = (х + 110) рупий - стало у второго, 2х - 100-10 = 2х - 110 рупий - стало у первого, г.к. второй стал в б раз богаче, составляем уравнение: х=70 70 + 100 170 рупий - было у второго, 2 • 70-100 = 140-100 = 40 рупий - было у первого Ответ: 40 рупий было у одного, 170 рупий было у другого № 1274. пусть х мешков - было у ослицы, (х -1) мешок станет у ослицы, г.к. у мула в 2 раза больше, то у мула 2(х -1} мешков, 2{х-1)-1 = 2х-2-1 = 2х-3 мешка -было у мула, 2х-3-1 = 2х-4 мешка -станет у мула, х = 5 мешков - было у ослицы 2 • 5- 3 = 10- 3 = 7 мешков - было у мула Ответ: 5 мешков было у ослицы, 7 мешков было у мула № 1275. пусть х ед. - нес осел, у ед. - нес мул, ~~:~w'!.:J.cra"::;;;:J~M u~~а~е~л~~0ш х=2у-300 С другой стороны, х -100 ед. - станет у осла, у+ 100 ед. - станет у мула, бу-1200=у+100 бу-у=100+1200 № 1276. пусть 2хлет-сейчас мне, 2х + х = Зхлет-сейчас брату, 2х + х = Зх лет- будет мне, Зх + х = 4х лет - будет брату, г.к. вместе нам будет 98 лет, составляем уравнение: 3 • 14 = 42 года - брату Ответ: 28 лет мне и 42 года брату № 1277. Сможет. Он вначале прыгнет 2 больших п~1жка вперед: V'J~•,Q ы rr:J@)M u~!!:j'c!:J· с о~ 0 ш № 1278. Сможет. Прыгать нужно так: из А в С, затем из С в В. с № 128. а}~* 40 = 3:::0 = 12- составляют 30% от 40; ~ * 30 = 4:~:о = 12 - составляют 40% от 30; 48 > 42 и поэтому 80 % от 60 больше, чем 60 % от 70. № 1280. а} 3 + 60 = 180 м2 - площадь тротуара 50см =0,Sм 0,5 + 0,5 = 0,25 м2 - площадь плиты 180: 0,25 = 18000: 25 = 720 плит потребуется Ответ: 720 плит потребуется 6~' ·~-~,~~ ~~ о, 1 2д+ ,1 +2 , . = ,о~у + + ,5)= ,1 , =об п адьбортика 2,7 О, 9 = О бщ л~а ь Q 0,1 ,1 = , 4 м - площ литки 3,096: 0,0144 = 30960: 144 = 215 плиток нужно 215: 48 = 4,479166 ... т.е. понадобится 5 пачек плитки Ответ: 5 пачек плитки нужно № 1281. а} 28 * 0,5 = 14 см - ширина коробки 14 * ¾ = 2 см - высота коробки V = 28 * 14 * 2 = 28 * 28 = 784 см3 ~~:c~e}.:;~PW ~@)М I 6 с-в1а~Q~ ш '= *б, =1950см =1,95дм Ответ: 1,95 дм3 объем кирпича № 1282. 1 кг= 1000 г N!:'Мn' l~~sqo687~~~ \ V rтrетл 1ъ;м triшicafpfj 1}1~~ - ( L( n ) I н I № 1284. а) Числа, дающие в сумме 100, обязательно найдутся среди первых 49 натуральных Если рассмотреть числа от 50 до 99, то сумма любых двух из них обязательно будет больше 100, т.к. пара самых маленьких чисел среди них, это 50 + 51 = 101. А сумма любых двух других чисел будет больше. Количество таких чисел 99 - 49 = 50 чисел, 45 < 50 т.е 45 чисел найдется. ~g,s~, "~99.~@оо Yj ч 1х 9 э чел 1 до9. у о а чн I иlJл, х л ~ д oQe л н о да u тся второе число, сумма с которым удет давать lCIO. Обозначим х -число от 10 до 40, тогда любое число от 10 до 90 можно представить в виде 50- х или 50 + х. Эти числа и будут составлять пару: (50- х) + (50 + х) = 50 - х + 50 + х 100 и их максимальное количество будет 50. Ответ: нельзя написать 55 чисел. № 1285. а} Для того, чтобы оказалось 2 карандаша одного цвета, необходимо взять самое малое 3 карандаша, г.к. в самом худшем случае попадутся 2 карандаша разных цветов, а третий будет совпадать по цвету с одним из них. Для того, чтобы оказалось 2 карандаша разного цвета, необходимо взять самое малое 6 карандашей, т.к. в самом худшем случае попадутся 5 карандашей одного цвета, а шестой Для того, чтобы оказалось 2 карандаша разного цвета, необходимо взять самое малое 6 карандашей, т.н. в самом худшем случае попадутся 5 карандашей одного цвета, а шестой будет отличаться по цвету с ними. № 1286. На 1 курсе не может быть 1 или 2 экзаменов, т.к. в этом случае на 5 курсе получается 3 или 6 экзаменов, а на 2,3 и 4 курсах вместе получается 27 или 25 экзаменов. Такого быть не может по условию задачи, т.к. в каждом следующем году он сдавал больше, чем в № 1287. пустьх кг золота -утаил мастер, тогда х кг серебра -заменил он, * (8 - х) кг - весит в воде золото, fo (2 + х) кг - весит в воде серебро, m,.,.sec,,:c~:,o:c~cr~asлш9¾~sc,cocrasлs@eмypas,@e"'e' ш - - ' о 375 10 -Ф о ~х=4-5-5 1 37 47 --х=--- 20 4 5 № 131.--llo- * 80 = 1·:0 = 16 марок больше у Бори, чем у Алеши № 132.a}-fto* 60+ 60 = ~+600 = 6 + 600 = 606 wf\:~:9~~e,;1~~,~@)M u:~\JEJ~s~.G~ ш № 133.a}бo--fto-* 60 = 60- 6 = 54; ~~~~;~ ~@)М u:~~ж::ыв,r~ о~ ш №134.а}ВО+ Но*80 = 80 + 16 = 96-на20% 80+ -fo°o* 80 = 80 + 24 = 104- на30% 80 + ~ * 80 = 80 + 13;8 = ВО+ 13 * 4 = 80 + 52 = 132 на 65% 60- *°* 60 = 60-15 = 45- на25% 60 - -fto * 60 = 60 - з,:о = 60 - 45 = 15 - на 75% № 135. а} 100 %- 40 % = 60 % массы мяса останется после варки ~,. 6 = ~=~= З~кг-мясаостанется 60х = 600; х = 600 : 60 10 кг свежего мяса нужно взять. Ответ: нужно взять 10 кг свежего мяса ПРИДУМЫВАЕМ ЗАДАЧУ № 136.Про~, ffio ож@iо "f'\oa ~ @@w - в ш1ю е н у к ат ти фldик , и , rи , г р~и . - в по н!: зн . а и идки , н paQe (п вышен и понижение зарплаты), в банке, в СМИ, интернете и многом другом. Проценты помогают нам: решать математические задачи, грамотно разбираться в большом потоке информации; правильно вкладывать деньги; грамотно брать кредиты, совершать выгодные покупки со скидками. За f;;'Pffiд жffi~"oйp@@Jrffi" зи ценына шубы а 2 ¼ Сно ьк р м t,сэ он и при о уее о н жения цен она ~т5оил 1 ? Q WO* 100 ООО = 25 * 1 ООО = 25 ООО р. - составляет скидка на шубу Ответ: можно сэкономить 25 ООО рублей. Задача 2. «Банковский вклад» Банк начисляет 11% годовых и внесенная сумма равна 200 ООО ~~блей. Какая с мма§у счетеклиенiбанкачерез 7@Ш -~ri;;;),~Al • О -2~1/"f. и тся внла до ~~0000 О - 2 р уДJт че ие,у через . Ответ: е чете удет ру . №138.~~хк~lmм~квар~~ртир-32. № 139. 48 ООО: 100 * 25 = 480 * 25 = 12 ООО ч. - живет в городе детей No 140. 200: 100 * 35 = 2 * 35 = 70 г - содержится свинца в сплаве •{§о @-с~,сао~~ = г ое тсдруг е овп е !I аа г в нJ:f 1 О о а иб р !:)л № 141. 3 + 12 + 15 = 30 человек в 7 классе 360°: 30 = 12° - соответствует 1 ученику 12" * З = 36° - ученики, получившие «5» 12° * 12 = 144° - ученики, получившие «4>i 12° * 15 = 180° - ученики, получившие «3>i №142.9ч-сон, 1 ч - завтрак, утренние процедуры, Sч-занятия в школе, 2 ч - кружки и секции, 2 ч - приготовление домашнего задания, 1 ч - помощь по дому, Придумываем задачу №141~- ру~о~ю~им!""""· зп ~ и а о рп а~2 ¼ л а оп ат( т е , О на обрет е е е1 буви ых. Дополнения к главе 1 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов г) 22, 24, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66 № 147. а) 1 цифру можно выбрать 3 способами, 2 цифру можно выбрать 4 способами, всего получится № 148. Первая девочка может выбрать себе место 4 способами, вторая девочка может выбрать себе место оставшимися 3 способами, f)~'ffi'~"~юocr~ffi rе111.я ев ч о eт[itt1 а е мест о им'ся\lс с б м ;~Г 2 =4псЬlб о u )\-в . посо а № 149. Двузначные числа: Цифру десятков можно выбрать 5 способами, цифру единиц можно выбрать 4 способами, всего 5 • 4 = 20 двузначных чисел. Цифру тысяч можно выбрать 5 способами, цифру сотен можно выбрать 4 способами, цифру десятков можно выбрать 3 способами, цифру единиц можно выбрать 2 способами, всего получится 5 • 4 • 3 • 2 = 120 четырехзначных чисел. No 15. а)5½~*2ч= ~км/ч*2 ч=~км=10fкм 6}~~*1~ ч=~~*!.ч=13'3км=~км=7.'!.км i&~~~~~м~,м Sч 12 S ч 12 б б б No 150. Двузначные числа: Цифру десятков можно выбрать 5 способами, цифру единиц можно выбрать 5 способами, всего получится 5 * 5 = 25 двузначных чисел. о., ;:;t;:f~"li)дec,~~o бмоб,м,, ц,фру ""'"""'"'"'""'c""""'s"'~,;:. 25т~ь~о~~ш Цифру тысяч можно выбрать 5 способами, цифру сотен можно выбрать 5 способами, цифру десятков можно выбрать 5 способами, цифру единиц можно выбрать 5 способами, всего получится 5 * 5 * 5 * 5 = 625 четырехзначных чисел. № 151. а) Первую цифру можно выбрать 4 способами, 2 цифру можно выбрать 3 способами, 3 цифру можно выбрать 2 способами, 4 цифру можно выбрать 1 способом, всего получится 4 • 3 • 2 = 24 четырехзначных числа. Наибольшее из этих чисел - 4321, оно имеет 24 номер, а число 4312 стоит перед ним, т.е. имеет 23 номер. Наибольшее из этих чисел - 54321, оно имеет 120 номер, а число 54312 стоит перед ним, т.е. имеет 119 номер. в) Согласно решению под буквой 6) таких чисел всего 120. Последнее из них - 54321, перед ним 54312, 54231- имеет номер 118. № 152. а} На 1 стул можно посадить детей 4 способами, на 2 стул - каждого из оставшихся 3 детей, т.е. 3 способа, на 3 стул - каждого из 2 оставшихся детей, т.е. 2 способа, на 4 стул можно посадить только одного оставшегося ребенка, т.е. 1 способом. Всего получаем 4 * 3 * 2 * 1 = 24 способа в} 1 ребенка можно посадить на любой из 4 стульев, т.е. 4 способа, 2 ребенка можно посадить на любой из оставшихся 3 стульев, т.е. 3 способа Всего получим 4 * 3 = 12 способов № 153. Для того, чтобы девочки не были рядом, между ними должен сидеть мальчик. ,и;;ж~,mоб~еео,@@J, м "Ш'" обами, '') 'If о о 4 :(\8 00 6 . о г"Т' м и о No 154. Чтобы девочки не сидели рядом, между ними должен сидеть мальчик. No 155. 9 = 3 + 6 = 4 + 5 = 5 + 4 = 6 + 3 - всего 4 способа ~iE~:'Q"o~:и"25ё=S~ ~~~ ~rO:п:::!1°o"C3~uu'""'" 36 No 156. а) Из каждой точки на окружности выходит по 5 отрезков, но половина из них будут повторяться, поэтому всего получится 6',:'',;'\о:::';~о,. w~ @@~ б} ыu~л и п а ад~ к носе п~и р п жатийбудет од ак а, п это к о тии в г • · Q Ответ: 15 рукопожатий ИССЛЕДУЕМ № 158. ПУСТЬ у Васи Угрюмова былох приятелей, тогда каждый из них пожал руку х-1 раз и еще он мог пожать руку Васе. Среди этих рукопожатий половина совпадающих и всего рукопожатий меньше 13, поэтому (х-1) • х: 2< 13 найдем подбором ~;щ6~,~~ ~ ГгJ@)М ,~;2i_li~~'~ ~о~ ш 13- 6 = 7 - это больше, чем осталось друзей, по условию Вася пожал руки не всем - не ПОДХОДИТ Поэтому Вася пожал руку 3 приятелям. Ответ: Вася пожал руки 3 приятелям № 159. Пусть у Пети Веселова было х приятелей, то каждый из них пожал руку х - 1 раз и еще мог oo1QZE.C~~a~· ""'@@)Ш а)в)еr8"[ к пg т eu е ,~этм о (х-1 • : 7 де оДdор Q Х= 6 . - < -ПО 17-15 = 2 приятелям Петя пожал руку 2 раза х= 5 4 • 5: 2 = 10< 17-подходит 17-10 = 7- не подходит, г.к. меньше количества друзей Поэтому Петя пожал руку дважды 2 приятелям. Ответ: Петя пожал дважды руку двум приятелям б}sсесо ,ооожа.и~· . е~18оо,и~ @@Ш (х_ ) \ ~ 1 _ м ol;o о ~;~ - . - 5я 1 -n д 2 Q Поэтому Петя пожал руку дважды 3 приятелям. Ответ: Петя пожал дважды руку трем приятелям в) всего рукопожатий меньше 19, поэтому (х -1) * х: 2 < 19 найдем подбором ~;ш~~,".~5~<19-:о:о~;, ~ @@Ш я*'1о а р дв ы~пр я л . ~жд I жа четы е лО No 160. дl ~ № 161. Пусть d- количество всех диагоналей, многоугольника, по условию d >20 и еще известно, d = n(n2-з) ~ 20 + 19 или 20 < n(n2-з) ~ 39 40 < n(n - 3) ~ 39 если n 11 11 *(11- З) = 11 • 8 = 88 > 78- не подходит если n = 10 10*(10- З) = 10 • 7 = 70 < 78- ПОДХОДИТ d~fE'' -i;;~"лей@@Ш У/~; 2 , со~л йо , ь пр вести О еслЬlш -3 =9 =¼< -подх _ц@ d = 9•(:-з) = 27 всего диагоналей 27 - 20 = 7 диагоналей осталось провести Итого получается 7 или 15 диагоналей осталось провести. Ответ: осталось провести 7 или 15 диагоналей 2.8. Вероятность события № 162.aj В~~о~,Qц~2, з,W~~об различных выпа~й~~~1т~пе,~~~дно.Поэтому вероятность со ытия равна 6 б} Всего на игральном кубике написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5 и б, т.е. всего возможно б различных № 163. а}¼ - вероятность выпадения герба в 1 броске, ¼- вероятность выпадения герба во 2 броске. ¼ * ¼ = ¾- вероятность не выпадения герба при двух бросках. 1 -¾ = ¾ - вероятность выпадения герба хотя бы раз. ~~::~:~:~;:,:~@)М urn~t:::J~бe3~ ш 2- вероятность выпадения герба в 3 броске. 1 1 1 1 2 * 2 * 2 = в- вероятность не выпадения герба при трех бросках. 1-¾ =-; - вероятность выпадения герба хотя бы раз. Ответ: вероятность выпадения герба равна-; № 164. а} 2 + 5 = 7 шаров всего, т.к. в ящике 2 черных шара, то черный шар можно выбрать 2 способами. Поэтому благоприятных исходов будет 2. f- вероятность вынуть черный шар ~ ' ~е 7доя::z=r.ь чв f;~и :r::1аш:р~~1брать 5 с~~ о~~ р~н l~Btt~oШ 7- вероятность вынуть белыи шар Ответ: вероятность вынуть белый шар равна~ № 166. Из этих букв всего может получиться одно из слов - «ца» или «ад», поэтому вероятность t:'i"'f!~""~Q ~ r;:::J@)M От~т:(в1о~н~т\:__~ r о) ~о~ о UU № 167.1 букву может получиться 3 способами, 2 буква - 2 способами, 3 буква - 1 способом. ~F:\бы~a~o~co,yf?afmM 1B~ie~я~<\:_~иrJ),{(~l)~OШ № 168.1 букву можно выбрать 4 способами, 2 букву- 3 способами, 3 букву- 2 способами, 4 букву - 1 способом. Все~~4~а~, Р'·@@Ш Веро_н п<Аr! иь К яЕ)-21. О Отве п « ля f) № 169.1 букву можно выбрать 4 способами, 2 букву - 3 способами, 3 букву- 2 способами, 4 букву - 1 способом. Всего можоо, , 4' 3 '2' 1~- 4 : "'";'@@)' "Ш' деажды, oo,g;;;/,{:Ao о ,Q] ,, а - ~ - о Отве~@п лу ть ~ )>равн4 ~~ № 170. 2 + 5 = 7 дней всего № 171. а} Есть только один вариант выпадения кости с суммой О, поэтому вероятность равна "iij б} 2=1+ 1 2 =0+2 Всего 2 варианта выпадения костей с суммой 2, поэтому вероятность равна~= i4 ~ ИЛН3-~~"'@~И ш- 3 1п~д н к с м{,й , эт вер я о т p,Q 24 +6 и -5+5 о Всего 2 варианта выпадения костей с суммой 2, поэтому вероятность равна~= i4 № 172. Чисел всего 6. а} число 6, вероятность¾ № 173. а} На каждом кубике расположены числа 1, 2, 3, 4, 5 и б. Чтобы сумма очков была 10, моrут быть такие варианты: 10 = 4 + 6- на одном кубике выпадет 4, на другом выпадет б 10 = 5 + 5 - на каждом кубике выпадет 5. Вероятность выпадения числа 4 на первом кубике равна ¾, вероятность выпадания на втором кубике числа 6 равна тоже¾Вероятность выпадания на двух кубиках суммы 10 равна¾*¾Такая же вероятность выпадания чисел 5 на каждом кубике. Итоговая вероятность вып енияс ммыичков авная~"@' ш '' ~'' ' 6*6+6 6 ь.6 б 360' о в} На а б а ло ь ис , , , ,(!J Чтобь бы , тобы на каждом ку ике выпало б 12 = б+б Вероятность выпадения числа б на первом кубике равна¾. Вероятность выпадения числа 6 на втором кубике равна¾. Вероятность выпадения на двух кубиках суммы 12 равна¾*¾=-!;, г) На каждом кубике расположены числа 1, 2, 3, 4, 5 и б. Число 13 никак не может получиться, вероятность равна О. д) На каждом кубике расположены числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Минимальная сумма очков на двух кубиках может быть 2, сумма 1 никак не получится и ,е~~о~~~~@~ е) На а о 'W к р же ь и а , , 4, 5 и б. о ::;о,,:ош pas:, '. " " ,О, " а " ому ере, " сел, поэтому № 176. Сумму в 11 очков получим, если: ~' yбffibl'~б-,,~@· -м тti. в 1п де ел 5(3-1 рв м бике а н ~- О ост вы а и с абн т DP 6. Вероятность выпадения суммы 11 очков на двух кубиках равна¾*¾= t 2) на первом кубике выпадет 6, а на втором кубике выпадет 5: 11 = 6 + 5 Вероятность выпадения числа 6 на первом кубике равна¾- Вероятность выпадения числа 5 на втором кубике равна¾- ~~,о~а, м~, ,,~ааад y«y~a,p@-•'nil О р<Аlт о ь н я~ ы ковр в а О 6 *- .2._ _ 2 .2.._ я .О 3) Сумму в 12 очков получим, если на каждом кубике выпадет число 6: 12= б+б Вероятность выпадения числа 6 на первом кубике равна¾- ~~::,::": "]~:~]~;j,::::~m,,scposa. ~eE5rn е ярз~а~ао~~ш Ответ: игра нечестная Придумываем ЗАДАЧУ № 177. а) Бросают два игральных кубика. Если сумма очков 10- выиграл первый, если сумма очков 7 - выиграл второй. (несправедливая игра) Бро~~'"'' а.~~З-~~- очков И>- выиг в oi пр в я г б} Бро а т е r. Ее вы ~ве р к , т ie ал е ыQ ь у рел и решка, товы . несп аведл гра}. Бросают 2 монеты. Если выпадут две решки, то выиграл первый, если выпадут два орла, то выиграл второй. (справедливая игра). № 178. а} Первую цифру числа можно выбрать 5 способами, г.к. цифр пять. Вторую цифру можно выбрать 4 способами, г,к. цифр останется только 4. Третью цифру можно выбрать 3 способами, г.к. цифр останется только 3. Получим, что всего можно составить 5 * 4 * 3=60 -т ехзначных~ис ставленныхfЕз тих цифр. Бла п я т б:1и wf!;b о 1 быте ваО" вероят о ьр а- И О в} Пер а жно вь ь 5 спосо ами, т.к. ци р пять. Вторую цифру можно выбрать 4 способами, г.к. цифр останется только 4. Третью цифру можно выбрать 3 способами, г.к. цифр останется только 3. Четвертую цифру можно выбрать 2 № 179. а} Первую цифру числа можно выбрать 9 способами, т.к. цифр девять. Вю~~,о~~~·. мфр о .мго всего мож а ихь • = ву н ы ч л, остав е н з и ц р Блаrоп И Т I о I ие о бn К с {у а aQ Ч а~о му вероятностьравна72 6) Первую цифру числа можно выбрать 9 способами, г.к. цифр девять. Вторую цифру можно выбрать 8 способами, г,к. цифр останется только 8. Третью цифру можно Вторую цифру можно выбрать 8 способами, г.к. цифр останется только 8. Третью цифру можно No 18. а} 144 км= 144000 м; 144000 м : 1200 м/мин = 120 мин= 2 ч 4. Занимательные задачи № 181.1 'r"'W".,'JF'\мии~p~2 ~- Ои~~~лии, сосуд. Пoэ~мrz1a~т~и1зj ,_ - -5 -['\lie> -5-5, О - 1 2 1- , f-51 о, - 0 9 № 23. а} 200 км= 20 ООО 00 см 20 ООО ООО: 1 000~0 = Ощм - ас ~F\20 о о ~о,~о)2000 о- о мг<:, JJ(OJкi=~ О О м~ [}opofoQ!rf~ О мVао № 231. а} а= -10, тогда -а= 10 ~J:p;~joJ ~ п~(о)м № 233. '1:9r':'rrm'\ ""'~'~- ~, р,~~~о правее и ме~ьшrт1, 1i.o~pie 1~ I n J 7 /4 _ ( ~( С) J I н 1 №239.ммп б)~ ~-~1-,sr'::'l~(1'V":!a,-•o, ~-i 111; л \ зJ(12r~a;11fJs 1-ьJ' L ( ( ':( n J I н I №24. а}lсм*50000 50000см=500м б} 5 см+ 50 ООО 250 ООО см= 2500 м ~S~l~м~ @@оо (3,1ъ_м*5 ~ 5 0qt\м - Q -м 1-50 -·QO 00-к е)1:бмм*50000=730 00мм=7300м №240~8?'\_ б)~ ~9 ~с) 0>!",'7lf"!:'\1:,"'V"';J-600< -5; ~ ~(ьj<л-~0( 3{г{ 1'1f) иJ3//п _ t ~( О JI Н I № 247. Если а> Ь, то число а в ряду неотрицательных чисел стоит правее числа в; 2.4. Сложение целых чисел №248. (-3}+(+2) = 1 г) (-3) + (-2) = 5 № 249. а} Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, нужно: 1) сложить их модули №253.а}-1+(-2}=-(1+2)=-3 б}-2+(~1}=- 2~1 =-3 ~R•1°/1~~iHf~ G1J-s, , с 'А"~ J ~)j~(-~°\-(~)10 J ( дч~-~ -1 -- 44,_y}=l~l:tj l №255.в) -8+(+9)=+(9-8)=+1,т.к.191 > 181 №256.а}-1+(+2)=+(2-1)=1,т.к.1+21 > 1-11 6) + 5 + (-2) = + (5 - 2) = 3, г.к. I +51 > 1-21 +l)i- ~,.1-1 +,I+ IO -1 - -- 1 1 + ~)~ ~=)c;i\, , : s/s@Ш №259.а}-102+(-98}=-(102+98)= 200 .102 ----"" 200 6)- 33 + (-167} = - (33 + 167} = - 200 • 33 --1.§1 200 в}-128+(-12}=-(128+12)= 140 + 128 _1_2_ 140 д)-172 + (-118} = (172 + 188) = 360 • 172 ---1§.!! 360 е) 694+ 738= 1432 • 694 ____1Ш 1432 № 26. 340 м = 34 ООО см №260.а}-354+(-293)=-(354+293)=-647 +· 354 ---121 647 6)-293+(-354)=-(293+354)=-647 +. 293 _,):,,[ в)784+951=1735 647 +- 784 ~ д) 487+954=1441 •· 487 ---2>'! 1441 е)(-259)+(-728}=-(259+728}=-987 +· 259 __J]jj_ 987 №261. а}-7825+(-3517)=-(7825+3517)=-11342 ~- 7825 ___llli 11342 __jjQ'М 8129 №262. а} 359+(-483)=-{483-359}=-124 6) - 703+ 117 = -(703-117) = - 586 483 124 703 -11Z 586 в)-14+864= +(864-14}=+850=850 864 _и д) 17 + ( - 256) =-(256-17)=- 239 е) 476 + (- 253) = + (476- 253) = + 223 256 ____!1 239 476 _ill 223 №263. а}-170+(-250}=-(170+250)=-420 • 170 130 в} 7805+(-454) = + (7805-454}=+ 7351= 7351 7805 ----1,1 д) -8576+(-1720)=-(8576+1720)=-10296 • 8576 № 264. а) -5 + (-3) + 2 = - (5 + 3) + 2 = - 8 + 2 = - 6; 6} 3 + (- 7) + (- 8) + 6 = -4 + {-8) + 6 = -12 + 6 = -6; в)-8+3+{-1)= (8+1}+3= 9+3=-6; ~11+~- _,§"~ @@Ш k + 7 = + = 2 = · J - ( ( +~б c~::.sc i(:j', о з} 8 + (-10) + (-12) + 3 = -(10 + 12) + 8 + 3 = - 22 + 11 = -11 2.5. Законы сложения целых чисел № 267. а} 5 + 798 + 35 = (5 + 35) + 798 = 40 + 798 = 838; "'~+59~- ,~s~+59-~@Ш 1) 56_ 48 - 7 1~+ 8= О 48= 1; о ''Ir + )с 4 И.21 96- (:) с О №268.а)-5+(-9)= (5+9)=-14и -9+(-5)= (9+5}=-14; результаты равны 6}48+(-36)=+(48-36) +12=12 и (-36}+48=+(48-36} +12=12; результаты равны ~ 16%::Jб¼\б~ 1,srr:JГn"IM u1/''i ·:~.~1~о~&ш р у ь ты равны д) 13+ (-6+ (-7}) = 13+ (- 13) =0 и (13+ (-6))+ (-7) = 7+ (- 7) =0 результаты равны № 269. а)- 45 +(-10) = -10 + (-45); № 27. 360 м = 36 ООО см; 36 ООО см: 12 см= 3 ООО; No 270. а} 42 + (-3 + 7) = (42 + (-3)} + 7; No 271. а) З + 5 + (-8} = З + (-8) + 5 ~·~·С· )~ @@Ш Г-.1,,. I з .7 ,f11J, 0 4lr, 0 , 1 , , /.!11 Q № 272. а} 49+ ((-49)+ 22) = (49 + (- 49)) + 22 =О+ 22 = 22; б}-12 + (12 + (- 29)) = ((-12) + 12) + (-29) =О+ (-29) = 29; в} (47+ (-58))+(-47) ш9)~ r1бь1 + ( 27,r=' 1 9 - 6 )+ (47 + (- 47)) + (- 58) =О+ (- 58) = - 58; la•JJfEOO+~;@ш , Ч, 1- 1 -5 + 1-10 " - Q g\ 1iv,- )-4 1/tl-r 9, i {-5 с {'>;{Jc-; з) -48+ {-19)+ 28 = ((-48) + 28) + {-19) = 20 + (-19} = -39 № 273. а}-1 + 2 + (-3) + 5 = {2 + 5) + ((-1) + (-3)) = 7 + (-4) = З; б}-2 + (- 4) + 2 +5 + (-3) +1 + (-3) = (2 + 5 + 1} + ((-2} + (-4} + (-3) + (-3)) = 8 + (-10) = - 2; '!15'@;§-i'il•ll-i~- w·(-22)c5; с 1- 1' -2, с I-'IJ\'I 11 1 I-зII 1 -Р!'р ; д)-1 + 7 ( + - 8= ( 7;l.J(- } (- + + - 7\.э-1_- , е) - - -4) + - - ;i + + + (1Q+ (- + (-4) + - ) = + - = - 3 № 274. а} (-1) + (-2) + (-3) + (-4) +4 + З + 2 + 1 = ((-1) + 1) + ((-2} + 2) + ((-3) + 3) + + ((-4) + 4} О+ О+ О+ 0= О; 6}(-~m(-1~+ ~}+~}+Sе- в} (-1 + -9 + -~+ -7 .. + 8+ -tflr ((- + О)+ ( 9)(t г)(-100 + - } 9 .. 8 + :i.в'о ( 10 + ~ 1- № 275.а) 1 + (-2) +З+ (-4) + ... +9+ (-10) = (1 +(-2})+(3+ (-4}+ ... + (9+ (-10}== 1 + (-1) + (-1)+(-1)+(-1} =-5; ~} 1 + (-2)+3+(-4) + ... +99_+ (-lCIO)=(l+ (-2))+{3+(-4~)+ ... 99+ -100)) = - +(}+1} ... ~--0~~ Г'\ ~ в){-1) 2 ( )4-4+ .. + + =((-€}+ -9 + +~I} (-1.ZJY+ ) 6)+(-5)+10= = (-10 + - + О (- + - О+ 5 - · U г) (-1) + 2 + (-3) + 4 + ... + (-99) + 100 = ((-1} + 2) + ((-3) + 4) + ... + ((-99) + 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 50 № 276. 9 + (-11) = - 2; -11 + 10 = -1; - сумма двух соседних чисел отрицательна 9•(~{9<\19r(I09,(llj 8~sce~~ -s; 7;)6L1м~at~ы~_gвvyo е&их tлfffon~л~~c~aтj отрицательна №277.5+(-4)+(-2) 5+(-6)=-1; -4+(-2}+5=-6+5=-1; -2 + 5 + (-4} = 6 + 5 = 1; 5 + {-4) + {-2} = 5 + (-6) = -1; -4+ (-2)+5= 6+5 = отрицательна № 28. а} АВ = 56 мм - на плане; 1: 10 ООО - масштаб 56 мм• 10 ООО= 560 ООО мм= 560 м - на местности б} 15 мм-расстояние отточки Адо моста на плане; •,0000~- ~SO~o,,-A@@ooe и, о, о B["j' а · о IO = О r.{)4 О - ос:, о В м н лоя п точки о смешанного ле , 1 см • 10 ООО= 10 ООО см= 100 м - расстояние от В до смешанного леса на плане 2.6. Разность целых чисел №281.Р~, '"~"'~'"" лжЬ, ы~ц ое,~л , ~;"'\' м се читаемым чис о а~ е ь е с8 а. U Н ,, Г) 'н' № 283. а} +28 - (+9} = + 28 + (- 9) =19 - неверно, не равно 14 ;:t~"I~- ,~- ,~ ~@Ш --А-- -вен О 2 + - -1 (- -lD- ер , н ~ _ 1 № 284. а} +45 (+63); уменьшаемое: 45, вычитаемое: +63, число, противоположное вычитаемому: -63 6} +27 (-52); уменьшаемое: 27, вычитаемое: -52, число, противоположное вычитаемому: 52 N~f:"11+58~(~c)~12)~~~~ у 1'11'• \2(11+r1э:п n )'1 ~¼59211~9 С) 11 н I №2f4г':r/4."бf':'l Г"\-t';:;Jj'-13,,.-:::'lf;'!"'Z~'-24 ~r-r1(-A9\=-r3(N l Г)'Jt3/*1=1~127L::"( (3!)-l}t(~=1-1s-10 №287.6}6-8=6+(-8)= (8-6)=-2 в} 4-10 = 4 + (-10) = - (10-4) = -6 r)5-20=5+(-20)= (20-5)=-15 д)б-11=6+(-11)= (11-6}=-5 е)8-13=8+(-13)= (13-8)=-5 W~8ffi\~l&]~ о@@Ш л) 91-119 = 91 + (- 119} = - (119- 91) = 28 м} 62- 89 = 62 + (- 89} = -(89-62) = - 27 н}бl-105=67+(-105)= (105-67}=-38 №288.в}-5-2=-5+(-2)= (5+2}=-7 г)-8-14= 8+(-14)= (8+14)= 22 д)-10-10= 10+(-10)= (10+10)= 20 е)-20-60= 20+(-60}=-(20+60}= 80 ~ж)~-11-,2;{БС_-,',':/~'юЗ)С0--(11:~';)С0--34 @@Ш s"- - - JO if} 9 IO 9 0 - -9 + - =-(9 + 8 =- н:D л)- 240-14 = - 240 + (-14) = - (240+ 14} = - 254 м}-50-105= 50+(-105}=-(50+105}=-155 н} - 200- 400 = 200 + (-400} = -(200 + 400) = - 600 №289.а}-5-2= 5+(-2)= (5+2}=-7; бЬ-fi~@;~~; ГrJ@)M 1~~:Lfi~I~Q~ Ш № 29. а) АВ = 3 см - расстояние на плане; 3 см * 100 ООО= 3 ОСЮ ООО см= 30 км - расстояние на местности от А до В 30,мсS,м~, 0би :оs:моо,:~"' @@М о о ~з , 'R " .Qo ~в k; - 34 - ~4:1 ~ - '1-½-dин - м по уется №291.б}-824 (-642}= 824 +624= (824-624)= 200; в}- 498 (- 402) = 498 + 402 = (498- 402) = 96; Nt:9t6!J{l4+(·~~ ~17+\т'1;'7~~ У !1V2&1\1f9(~~ 'f'Л I 7 AQ13_+! ~зfэ 11 н I Nt'"'r1:J'H23l_r!"12~ ~56+~~~ \ V ,'I уч.1 \ I fOlt ~ +l'Ofl р,7 д.1 66)(+ ~ '!!'t \Ы1' ff ~41 No 294. а} (-5 + 8) + 9 = 3 + 9 = 12; 6) (14-18)-7 =-4- 7 =-(4+ 7)= 11; № 297. а}-1-2-3-4- 5- б + 5 +4+ 3 + 2 + 1 = (-1 + 1) + (- 2 + 2} + (-3 + 3) + (-4 +4) + {-5 + 5)-6 = ~i-w{.\:6.bl+W.Ds W+s1+ Q~s;:u+ ( 1 + 1}+9 ° =0+~+~+~~+\,~~J ( и J ~ oGouu № 298.а)-9-8- 7- -1 +О+ 1+ ... + 7+8+9 + 10 =(-9+9}+(-8+8) + (-7+ 7}+ (-6+6) + (- 5+5)+ (-4 + 4} + (- 3 + 3) + (- 2 + 2) + (-1 + 1) +О+ 10= 10; 6}-101- 100- 99-98 ... +98 + 99+100 = (-100 + 100) + (- 99 + 99) + + (- 98 +98) + .. (-1 + 1) + 0--- 101 = 0-101 = - 101; в) 1- 2 + 3 - 4 + ... + 9 - 10+ 11 = (1- 2} + (3 - 4} + (5 - 6} + (7 - 8} + (9 -10) + 11 = = (-1} + (-1) + ... (-1) = - 50. 50 №299.а}х+13=7 х=7-13 Х=-6 7-13= (13-7)= б б}.+8°-7 I Х=-7-8 -15+8=-(15-8)=-7 Х=-15 s}-7Hc>~ ){~l~~::CS@W х=5 д)-15-х=7 Х= 15- 7 Х= (15 + 7} Х= 22 -15-(-22)= 15+22=+(22-15)=7 № 3. а} отношение числа 7 к числу 2 No 30. (практическая работа) Пример: масштаб 1: 100 длина класса 10 м = 1000 см, ширина класса б м 600 см 1000 см: 100 = 10 см - длина класса на плане 600 см: 100 = 6 см - ширины класса на плане 10см №300.а}-498-х=-1751 х = - 498-(-175) 498 Х=-498+175 ~ Х=-(498-175) 323 Х=-323 6}79+х=-356 I .356 356- 79 __J__'l х- 435 435 ~,~~~oCS@W х 128 128 д)-542+х=542 .542 х=542-(-542) --211 х = 542 + 542 1084 Х= 1084 №301.а}(-5)+(-5)+ .. +(-5}=-(5+5+ ... +5)= 30; L,-----J 6 б} (- 7} + (- 7)+ .. + (- 7} = -(7 + 7 + ... + 7} = 56; ~ Lf&@1~~~@@Ш I I 9 9 г)(-6)+(-6)+ ... +(-6)= (6+6+ ... +6)=-66 ~ 11 2.7. Произведение целых чисел № 302. а) Произведением двух целых не равных нулю чисел называют произведение их модулей, ,~~~«+~•~дс;;'7"'"'~(n\Мо"' разных ~~п0о.звдАилб ц оО ~а ул &ш в) С н а с рал ы показателем ~п > называют произведение п множителей, каждый из которых равен а. № 303. Оба закона справедливы. п,,_ № 305. а} х 123 __ 27 поэтому 3' 3 • 3, (-31 • (-31 • (-31 6}- 5 + 5 = - 25 (-5} + (-5} = 25 - 25 < 25 поэтому U1m,(-5~- ~~ ,,. , с 'D'1- 9 О" Lru I I '; "71 т~я1°1 1, 6 поэтому -2. 2. 2. 2<(- 21. (-21. (-21. (-21 № 326. а} -22 = - (2 • 2) = - 4 (-2}2 = (- 2} • (- 2) = 4 поэтому -22 < (-2}2; б)m- . _ 9 foJ2·~ 8 ~ ,) )0°-1/;1~ 2)/',(-2( 2.-1-21-- "°0"~2)'; а • г)(-4 - ~- ~ И 3 =- за 3 =- пhE5U (-4} >-3 №328. 2 1 2 1 т@''П),~-~@@~25; е) - 4 • (-3}2 = - 4 • 9 = - 36 № 33. Длина крыла комара на рисунке - 1 см; wм:Q,Q,~,o-,Cr=J@)M ~J>f~~~µjв~ о\,~ ш 2.8. Частное целых чисел № зз,.WО.,Q ,QJ:;z,;J,й, '1"' _ о~и~rв,r з~~~t~кJJ«),~иеуkых зн №334.a)_234l...§_ 6)_7441~ в}_17941_____п__ г)_2997 J____Jl_ _1_>, 39 .I1 93 J&1 78 296 81 54 24 184 37 _,,, _и 184 _11 2648 2648 4923 ---12.П № 335. а} 576" 23 - 766 • 35 = 13248- 26810 = - (26810 -13248) = -13562 13248 26810 6) 849 + 18 783 + 28 15282- 21924 = (21924 -15282) = 6642 х 849 х 783 21924 __]J! _Ш 15282 +6792 +6264 6642 ~ ~ 15282 21924 в}136*13-(8416+1234)=1768-9650= (9650-1768)= 7882 ~@§~~о@@Ш 1768 г)4736:4-1245*5 1184-6225= (6225-1184)= 5041 _ 4736.l....1.._ , 1245 6225 _1 1184 6225 5041 _'[ 33 № 339. а} 200: (-40) = -(200: 40) = - 5 б} (-500) : 100 = - (500: 100} = - 5 ~~/~01 ~ ·w· }flO ~ rr:J®M i!jt{ } О}-•(5 7в{0 ~ Q\_2::) ш е) : 0=- 80: =-8 № 340. а} {-711) : 9 = - (711: 9} = - 79 _ 711.l....2_ t?&@Ш~'@@Ш о б} 1332: (-3) = - (1332 : 3) = 444 в} (-2316}: (-12) = + (2316: 12} = 193 _1332Ll_ .1I 444 13 _ll 12 _12_ _23161-...П _П 193 111 108 И~~~,~~~Ш _.1I§_ 31 42 ___1I 36 д) (- 2205}: (- 7) = + (2205: 7) = 315 е) 3208: (- 8) = (3208: 8) = - 401 _22051-.L Д 315 10 _J_ 35 _л _3208~ № 341. а} х • (-12} = 36 6)(-lЗ)*х =-143 в}х*(-15)=465 г) 14 • х = 294 Х= 294: 14 Х=- 21 д) х :8=7 х =7 • 8 х=56 е)х: 6=-42 х =-42 • 6 х = 252 ж)х: (-7}= -9 х =-9 • (- 7) х =63 х=3872 х=8 Ответ: х 3 872 Ответ: х = 8 Х= 7 Ответ:х= 7 х =-8 Ответ:х=-8 № 342. 6) 679 • 13 - 846 • 15 = 8827 -12690 = - (12690 - 8827) = 3963 8827 12690 в) 849 • 18- 684: 19 = 15282 - 36 15246 , 849 _ 684--1.12_ 15282 ___ш ~ 6792 _§_q2_ 15282 Я 36 114 ...!.И -----20 15246 д) 3612: 12-8445: 15= 301-563=-(563-301) = 262 _3612U.L _ 8445 l---12..._ 563 12 94 563 301 262 № 343. а} 43212 : 78 - 407 • 720 + 350 • 509 = -114336 ·roffi4 ~ @~Ш293040 (Jл54 oD 3 55 178704 . • • 2 5 Q 1 70 114336 _'_ _4_ -- _312 __]_П 293040 178150 6) 164 + 756 + 148916 564 + 702 + 48 762 : 86 = - 122461 х 164 х 564 _ 487621-Jlli_ + 123984 • 272900 395928 430 567 148916 _____'ibl_ 273467 __J__';& .зза 984 + 1128 820 3948 цза., 395928 123984 576 --21§ 272900 273467 122461 Wsм.61в;;~1~w ГгJ@М . 2~шR:J c_jd6~ о~ ш 36616 796 4776 4776 r) 37115: 65- 72675: 85 = 284 _ 3 71151-.§i_ ---1l2 571 461 _72675~ 680 855 467 855 --211 284 2.9. Распределительный закон № 344. 6) 17 * (31 + 16) = 17 • 31 + 17 • 16 ж) 17 * (28 + 31) = 17 * 28 + 17 • 31 № 345. б} 57 "39 + 57 "64 = 57,. (39 + 64) в) 39 " 12 + 28 * 12 = 12 • {39 + 28) № 346. а} 350 • 46 + 250 • 46 = 46 • (350 + 250) = 46 • 600 = 27600 6} 728 * 49 - 528 * 49 = (728- 528) * 49 = 200 * 49 9800 в)52 "100-52 "99=52 .• (100-99)=52 • 1=52 r)99 • 48+ 1 • 48=(99+ 1} • 48= 100 • 48=4800 д) 4300-43 + 99 =43 * 100-43 + 99=43 + {100-99) 43 • 1 =43 e~~б-~ffil-19•1)~1 - Sr;] ж 2 • +л8 2" 3 - о lf'\(1 8 2 32- о • U 01 о• о з 10 1"- 0 о 'CJ о з} - •9 - = •(9 - 9)-999 0= =999 • 10-999* 10=999 * (10-10)=999"0=0 и)728" 359-628* 359+641 • 1000=359" (728-628)+641" 1000= = 359 • 100 + 641 * 1000 = 359 * 100 + 6410 • 100 = 100 • (359 + 6410) 100 + 6769 = 676900 №349.а}а * (Ь+с)=а * с+Ь *с - 5(3 + {-10)) = - 5 * 3 + (-5) * (-10} -5 * (- 7) = 15+50 35= 35 -15 = 15 верно № 35. Задача 1. Грядка с морковью прямоугольной формы имеет длину4 ми ширину2 м. Каковы будут ее размеры на плане в масштабе 1: 100? 4 м = 400 см; 400: 100 = 4 см - длина грядки на плане a~{s· с -~:~sаал ~" -~~г" с{) см; 6 О~ ; ~ :11 ;~ - ;~де: :,~,,:::,е о:;~: Ответ: изображение столба будет равно 20 см ~беl;бО № 350. б} 6,. (8+ (-17}) = 6" 8 + 6 * (-17} ,} 1-7} • 1(-15} + (-12}} 01- 7}' l-15} + (- 7}' l-12} г) 16 * (8-17} = 16 * 8 + 16 * (-17} §·1-1~~·-1~·1-1@@Ш rj 5л+ Б} 1- -~1'\' 1 О 4 1 1- 0 5 1-bli1 • 1 IQ I - - 1 • 0 - + 1- и} (-28- 37}' l-3} 01- 28}' (- 3} + (-37}' (- 3} N~{f\· 7)r::'l·~ 6)/f;:ijб· 7)r:1'~~ \vl1f'l'\6i9lf~61'/J91 7 д121·116("t'l'(1·Н'н I № 355. а} 4 • (- 25 + 76 + 24) = 4 • (- 25 + 100) = 4 • (- 25) +4 •100 =-100+400= 300 ~m-38~' 1~·~·1-~@)-ggзoo ,.,! Ч,5 1 • - ( ---г\25 • = О• (- 8} +V'S\= 6 + О = 840 • -~+ о - 2 -8 Ц-з 12 =8() о 12~- о =760 No 356. б} 49 * 57-49 * 570 =49 * (57-570) в}58 * 64-99 * 64= 64 * (58-99} No 357. 6}-16 * 17-16 * 18 = 16 * ((-17)-18)) в} 49 * 19 -19 * 91 = 19 * (49 - 91} №358.6)-16 * 17-16 + 18 =(-16) + (17+ 18} в} 49 • 19 -19 • 91 = (-19) • (- 49} - 91} ~мsQ~~~w ГгJ@)М Q~~~c~i~10~ О Ш № 359. а) 59 • 64 + 59 • 36 = 59 • (64 + 36} = 59 • 100 = 5900 6) 72 "' 128- 72 "' 228 = 72"' (128- 228} = 72 "' (- 100) = 7200 ~б~ffiб~б~· @Ш (.j %, "' 2 9 • = - 9 F'll + = 99 + 1 О - on 1 "' 1 -U· 8 + )= •2 О 1¾:-60 е -91 =9 -51)=91*(-10)=-910 1.3. Деление числа в данном отношении №36. а}~* 5 = ~* 5 = 100 * 5 = 500 р.- одна часть ~::· :о_~~~®@@Ш 900 - 360 = 540 р. - другая часть Ответ: 360 р. и 540 р. No 361. а} 42 • 53 - 32 • 53- 42 • 63 + 32 • 63 = 53 • (42- 32) - 63 • {42 - 32) = = 53 + 10-63 + 10 = 10 + (53-63)= 10 • (-10) = 100 6} 79 * 45+ 79 + 55-89 + 45-89 + 55 = 79 * (45+ 55)-89 * (45+55) = ~00~~79~DO'i~~ '1)'18" 5 1 1 '1'1>- 5- 75'( 8 - 4()1' )- 5 4 10-ooJ(54-~0° - + 77- 7=392 23+ -492 2 + 7)= =392 + 100-492 * 100= 100• (392-492}=100* (-100)= 10000 2.10. Раскрытие скобок и заключение s скобки № 363. а) Если сумму заключить в скобки, перед которыми стоит знак {(+J>, то знаки слагаемых, ,ою~~~с~,~6~"'"~@~ 6} Есл зак юч т~бк , rfere к р и ст т ->{3) з и г емых, которые заклю ю с в 'iro ~el:m~c a!Jpo и оп о 'eJ № 364. а} +(5 + 7); Перед скобками стоит знак «+1>, поэтому опускаем скобки и энаи «+», знаки слагаемых не меняем +(5 + 7) = 5 + 7 б}+(З-8+7); Перед скобками стоит энак «+», поэтому опускаем скобки и энек «+», знаки слагаемых не м,wм?~'Q ~ ~Гп"IМ :::и~~~~,~~~~~емы,ае r) +(- 10 - 12 + 1) Перед скобками стоит энак «+», поэтому опускаем скобки и знак«+», знаки слагаемых не меняем +(- 10 - 12 + 1} = 10-12 + 1 № 365. а) -(5 + 7); Перед скобками стоит знак <{-J>, поэтому опускаем скобки и зиак «-», знаки слагаемых меняем на противоположные. -(5 + 7)=-5- 7 6}- (3 - 8 + 7); Перед скобками стоит зиак«-», поэтому опускаем скобки и энак «.», знаки слагаемых меняем на противоположные. -(3~~- 8-~~~ @@~ в) -(- + l_te ед ск и о~зн к - , этом о м е5к < }), знаки слагае ы м пр в оUы . Q -(-3+ - - - г} -(- 10-12 + 1}; Перед скобками стоит знак «-», поэтому опускаем скобки и знак с<-)), знаки слагаемых меняем на противоположные. - (- 10-12 + 1) = 10 + 12 -1 № 366. а}+ (а- в-с)= а - в-с Перед скобками стоит знак «н1, поэтому опускаем скобки и энан «+», знаки слагаемых не 6}-(а-в-с) = Перед скобками стоит знак «-», поэтому опускаем скобки и знак «-», знаки слагаемых меняем "'~ffi""'@· @~ в}+ а ) к-а+ + ::::д 'б " "'~8CJ, ,О, , а емых не г) - (-а+ в+ с)= а - в - с Перед скобками стоит энак «-», поэтому опускаем скобки и знак «-», знаки слагаемых меняем на противоположные. № 369. а}+ (48 - 93) - 8 = 48- 93 - 8 ~f,;\зs~~,w ГгJ@)М !ji!J+~s&V~-~ О~ UU No 37. а} --fA* 1 = ~·1 = З* 1 = 3-первоечисло; --fA * 3 = ~ • 3 = 3 * 3 = 9 - второе число Ответ: 3 и9 6)--f!з* 2 = ~- 2 = 3 * 2 = 6- первое число -fЬ* 3 = ~-з = 3* 3 = 9-второечисло Ответ: 30 и 18 г)Н*¼= -½µ-*¼ =f-•¼ =~*~*¼ = 10 * 6 = 60-первоечисло 100- 60 = 40 - второе число Ответ: 60 и 40 №1370.а}-(2-5+48}+23= 2+5-48+23 № 371. б} + (398 - 700) + 700 = 398- 700 + 700 = 398 ~1,~~+~00-@@Ш r+i-,' -4 1) -- f'19 + -- 91 о , 112 + 91 '} ~ ,Us , --so № 372. а} (456- 75) - 25 = 456- 75 - 25 = 456- 100 = 356 ~49~7~5~- +1~00 ( 2!8 7 2} - - 8fl\ 7 - = 238 + о - о--{ц8 б 1-'\1" 5 56 5U1 5 -з,е,, - • аь-' ~ № 373. а} (7 * 95 - 900) - 7 • 95 = 7 • 95 - 900- 7 • 95 = 900 ~9~9µJ95~-9~@)Ш r't 4§ 10 - О f)i= 4 О - 29 1 =С, 1-f , , з!J1° 3 8 (!} з " № 375. а} 79-48 + 15-8 = + (79-48) + 15 - 8 6} - 56 + 38-12 + 100 = + (- 56 + 38)-12 + 100 ~-@5- ·~~ @@Ш ~ч- 9 3 =+ -f3.- 9 5 11 О 2 7 ct- 3 = ( J.49 + 3- Q е)- + -1 +2 =+ - +48}-17+23 № 376. а} 79 - 48 + 15 - 8 = (- 79 + 48) + 15 - 8 6} - 56 + 38-12 + 100 = - (56- 38)-12 + 100 2.11. Действия с суммами нескольких слагаемых №377.C,~ffi'@3LO)"~"'"'Cs@Шoи,saas«+» илинк-.А о о а+(в = Q а-( - - № 379. а) 49-(38- 5) = 49-38 + 5 6) - 32 + (78 - 9) = - 32 + 78 - 9 в) 72 + (- 32 + 9) = 72-32 + 9 з) - (- 35+ 2) + {- 35 - 8) = 35 - 2 - 35 - 8 № 38. 1 + 2 + 3 = 6 частей всего; No 380. а) 108-(108- 5} = 108-108+ 5 =5 6) - 49 - (- 49 + 2) = - 49 + 49- 2 = в)-56+(-98+56}=-56-98+56= 98 ~т· ;15~3 c~~rpшw,,-~(o'\M u\~- + + + 8 __ qв 2~7е~~ш ж - + 5}- - 9)=- +15-5+39=10 з} (105- 48)- (62 + 105} = 105-48- 62-105 = -48-62 = 110 №381.а}79 (63+7) 79-70=9 в}79 {79-7) 79-79+7=7 6) 43 + (23 + 77) = 43 + 100 = 143 г) 43 + {77 - 43) = 43 + 77-43 = 77 11 №382.а)37+ 12 + 13 = 37 + (12+ 13) 37+12+13= 37-(-12-13) ~'@N ~-,-~1~ '5-t_8 2 = + 8 Ч1' -28+ 2 f2A2 6*if8 2- 6+( -lи) +е:, 5 = -~8 2 № 383. а} 48 -19 -1 = 48- (19 + 1) = 48- 20 = 28 48-19 -1 = 29 -1 = 28 7~с~~,о~ 93-~m Вь,-. З} 4 - + =f,O 4 З 48-(2 - =~(- )-4 15 63 - .,~з в 1в =ЬЬ з = б- 1 - ! = ~ J s 12 100 № 384. а} 84 - (44 + 28) = 84 - 44- 28 = 40 - 28 12 6) 94 - (44 + 26) = 94 - 70 = 24 в) 826 - (231 + 269) = 826 - 500 = 326 ~м'~',~'~)0 ГгJ@)М u:~~~~~~ о ш з} 236 -108- 92 = 236- (108 + 92) = 236- 200 = 36 No 385. а) - (98 + 49) - (102 - 49) = 98- 49-102 + 49 = - (98 + 102) = 200 б} (123 - 254) - (23 - 354) 123 - 254- 23 + 354 = {123 - 23) + (-254 + 354) 100 + 100 = 200 в} {149 + 237) - (137 + 49} = 149 + 237 -137 - 49 = (149 -49} + (237 -137) = 100 + 100 = 200 'ii398 -т-~ @@Ш д 4 ) :ъJ - 5) = 3 -!f'1 + 5 - 5 35 = о ,J в J - sJ s _.,, 0 1 "fJ ж) - -28 = + - +28= +28=56 з} (72 + 29} - (72 - 29) = 72 + 29- 72 + 29 = 29 + 29 = 58 2.12. Представление целых чисел на координатной оси № 386. а) Координатная ось - это прямая, на которой отмечены начало отсчета, единичный отрезок и "'"~ "е,а~ ~ @@Вп ~::я,на318 :~лпо;;альло :~дн т ;ьн ~ю. у~т ыё иле вправоот вг Точ ~ ~" ,Q, а.Лу, оторыи и впево ог нуля, называется отрицательной координатной полуосью. № 39. Для решения задачи нужно разделить число 90 в отношении 10: 8 или 5: 4 " " Xii':• - ·~Ос - ,,ш~ 9 * - * ty-o ст - ечатат 2м н@е ; """ ш,1 '~~ а ~rы № 391. а} Од= 4-0 = 4 6) ОВ = 0-(- 3} =0+ 3 = 3 в} ОС= 0-(- 5) =О+ 5 = 5 w~~croJ~~;~@@Бil №392. д) AD= - 4-(- 5) = - 4 + 5 = 1 см Результаты вычислений совпадают с данными измерений. №393. I t: I I I I I t~ I t~ t' I I I ,~ I I I ,~· I ;[fffi~Ш ~ о@@Ш д)DС=9-(-2}=11кл. № 394. а} mn = 7-(- З} = 7 + 3 = 10 №395. t91 I I I I 131 I t0!1I tзl I !'I I ,~·I Ножку циркуля поставить в точку О. Взять раствор циркуля радиусом, равным расстоянию от О до 3 и отложить на отрицательной полуоси равный ему отрезок. Получим точку- 3. Ножку циркуля поставить в ~_:очку 3. Взять раствор циркуля р~иусо~ рав~м р_асстоянию от О до 3 и отложить на положительной полуоси от точки 6 равный ему отрезок. Получим точку 9. Ножку циркуля поставить в точку- 6. Взять раствор циркуля радиусом, равным расстоянию от О до 3 и отложить на отрицательной полуоси от точки - 6 равный ему отрезок. Получим точку - 9. Дополнения к главе 2. 1. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки № 397. Tosr4r-"Jn"ю~~"~"л""~~~- N, О лежа, на о~о~ r1мtt.й~ т1ч1~ля1тсr~:е9еА?~трез1а t~( n J I н I № 398. а} Точке А относительно точки О симметрична точка С б} Точке В относительно точки О симметрична точка D ~s}То::,~:~т:си;:л:mио;;:и ~~c:••:•::::s@a;o,e:A о ш оч\е т ите ь оt91-1к О и трич а aN ТочеN то Д~а ж) Точка О симметрична сама себе № 399. а} отрезок CD симметричен отрезку АВ относительно точки О б} отрезок СВ симметричен отрезку AD относительно точки О в} отрезок DA симметричен отрезку ВС относительно точки О E,c~,§]P•i""Г"i'"oc ш .,т1ti,e к О и ет ч~ о pJ~ В отно и" тqчк'\1 т з А м т чU о р ан сое, те ь то~ D мме. о,р~ относительно '°"" D з} отрезок NM симметричен отрезку MN относительно точки О No 4. № 400. а} треугольнику ВСО симметричен относительно точки О треугольник DAO №401. №402. №403. -~~oCS@W If № 404. "E.""1f;![ioщa~ 'l':"".':'\P'F,;"J' л,а~~~ клетчатой бу~Гиfо/б'fiJ,~ ntлtм нтрrrыr ~~5 н~ 1ел~tае пt10~. I ДОКАЗЫВАЕМ № 405. Прямоугольник -это центрально-симметричная фиrура. Прямая, проходящая ,e!'_es цер~~ :'::~:·Р:: ":::@оу;ол,:"~",:;:о~,.-но,е,, з'f:Fт u, рую е т ~л и н аяпрямая, ~чнуючпи/;;;ж до прямоугольника. и они все вместе составят симметричные друг друrу фиrуры. Поэтому они равны. № 406. Прямая, проходящая через центр симметрии фиrуры, состоит из точек, которые 11, ыд~"V';'~л~рас,~, ~?~ Ide тр ль о'¼Jмм т~чн й, эт му пр мiЯ,,н)fит(ее\на~в~i р н к ц а~м ери ,П·Эе)' о а~н~ No 407. Верно. Точки Ми N симметричны относительно О, отрезки ОМ и ON равны г.к. являются радиусами окружности. Верно, круг симметричен относительно своего центра. №409. Сами себе симметричны относительно точки О отрезки АА1; ВВ1 №411. №412. Гll hh ,,- ,г ~ 1,- h v-- ' ~ \ г- \-_ • I l[ - I J L n - \._ .lL t1 L LЦ ,J '--- ,.___L ~ tf- ~ IJ i.--- --- >С _\.- -- rt ''д-, - ' -- ,;-- --- о .:~- ...- ------ Найдем центры симметрии прямоугольника и квадрата. Известно, что центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Проведем диагонали прямоугольника, их точка пересечения - точка О- центр симметрии прямоугольника. Центром симметрии квадрата также является точка пересечения его диагоналей. Проведем диагонали квадрата, их точка пересечения -точка А- центр симметрии квадрата. Любая прямая, проходящая через центр квадрата, делит его пополам. Любая прямая, проходящая через центр прямоугольника, делит его пополам. Поэтом имжно оро,~с м~оед,~це"'~@"ООР'"- она pae,ffi'"'' ""l'{Y' л. Q Ответ П я а IS. х д я з [9чк и зtj т ь р е н й игуры попо №413. Дырка представляет из себя окружность. Центром симметрии окружности также является точка пересечения ее диаметров. Проведем два диаметра окружности, их точка пересечения - точка К- центр симметрии дырки сыра. Любая прямая, проходящая через центр окружности, делит ее пополам. Любая прямая, проходящая через центр прямоугольника, делит его пополам. 2 И. Исторические сведения 3.3. ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ,рt,·9·~-·7·-ш~ @@Ш 9 tu ~ ' ' - 6 =0 6 7 7 - ) о мм двх се и исел л нО - 9 + 10 + (- 6) + 7 + (- 4} = -19 + 17 = - 2-сумма всех чисел отрицательна № 416. Можно. Например: - 4; 5; - 4; 5; - 4; 5; - 4 W;mS~" ~~сумм~е@шl смихи лоильа О (-1+ {- +5 4~- +1 = 1с) мав семи е р ательна № 417. Нельзя. Эти 9 чисел можно разбить на три последовательные тройки чисел, по условию с~f:У:юб~е~е~ожив-оекчисел пол~чиr:,к:е\\~т,чВл; f ь~ n\ ~\ u J~ t1 ½ No 418. а} можно, например: 4 * (- 16} = - 64. Получили противоречие. s}~~g~~c -~~- еоол стр К ехп Л е а. дr~,;го С О 1, есл~ отри ател н т и у ве и6!л о сет~ про . № 419. а) можно. Эти 18 чисел можно разбить последовательно на 6 троек чисел. По условию Но последнее 1. 9 числом. ожет быть отрицательным и~о мо улю больше суммы этих шести •Р~''Ш'~~~ @Ш -7;- 1 ;- :-~, ; 7; ' ,-7 -705; 7: ; ·-7;-7 1 ·- о в)н ьз. ас ж ан г чнос ча Gx е ожно разбить последовательно на 6 троек чисел. По условию сумма чисел в каждой тройке ooio~м~мffiи~eoo,~. ~ Но ,~~:\,и О и мо 1т о ельн м ме,~ о ь е уммы этих ~;~, т ~~,-/-·, ;- ,- ' ;-7:-; ;-797;1 ;-7;-7 №1 42. 1 способ: Нужно разделить число 60 в отношении 2 . 6 или 1 : 3 Ез * 3 = ~ * 3 = 15 * 3 = 45 км - проехал до встречи мотоциклист Ез * 1 = ~ * 1 = 15 * 1 = 15 км - проехал до встречи велосипедист 2 способ: ~ * 3 = ~ * 3 = 15 * 3 = 45 км - проехал мотоциклист до встречи ~ * 1 = ~ * 1 = 15 * 1 = 15 км - проехал велосипедист до встречи Ответ: мотоциклист проехал до встречи 45 км, велосипедист -15 км № 420. а) наименьшее число шаров, которые нужно вынуть - 7, г.к. вначале могут выпасть все 5 черных шаров, а следующие 2 шара и будут белыми 6) наименьшее число шаров, которые нужно вынуть -12, т.к. вначале могут выпасть все 10 :~~":":'~ро,;::е~дующ,:~:::~:6:д~:"е:,:;: ,. 'i-'\' о ' асть все Ю бель ар в~а у ие а at;tя т ь у~ е т.~д 2 а разного цвеа U г} наименьшее число шаров, которые нужно вынуть - 3, г.к. вначале могут выпадать шары разных цветов, а следующий шар и будет вторым шаром такого же цвета № 421. а) нужно вынуть 681 шар, т.к. может быть так, что вначале будут попадаться только черные шары, их 679, и только потом 2 белых. 679 + 2= 681 6) нужно вынуть 681 шар, т.к. может быть так, что вначале будут попадаться только белые г) нужно вынуть 3 шара, т.к. может быть так, что первые два шара будут разных цветов, а третий шар и будет одним из нужных. 2+ 1 = 3 № 422. Ключ к 1 комнате подбираем 2 пробами, (2 ключа}. Если они оба не подойдут, то к 1 комнате подойдет 3 ключ. Среди первых двух ключей ищем ключ от 2 комнаты, если первый не~о ой ет, то тогда " и м ,,,~" зRм'~ §~ Есл к к мhат п д ет д н tJ д у u е кл е щ о н u п о ищем ключ к2 ом те слип не д У-к т а Ответ: нужно сделать 3 пробы. No 423. Найдем, какими цифрами может оканчиваться квадрат натурального числа. Если число оканчивается на О, то 02 = О; если число оканчивается на 1, то 12 1; если число оканчивается на 2, то 22 4; если число оканчивается на 3, то 32 9; если число оканчивается на 4, то 42 16 если число оканчивается на 8, то 82 = 64-оканчивается на 4; если число оканчивается на 9, то 92 = 81- оканчивается на 1. Т.е. квадрат любого натурального числа может оканчиваться одной из цифр: О, 1, 4, 5, б, 9. Ответ: Вася ошибся, цифрой 2 квадрат натурального числа оканчиваться не может. №425. Ответ: Белова в черном платье, Краснова в белом платье, Чернова в красном платье. № 427. Нужно взять 3 монеты -1 монету из 1 мешка и 2 монеты из 2 мешка, положить их на весы. Е~~~ЗО~~.о~sые Е е PflT 9 (9 10 2f}\т 4J ш вые Есл в с Удf'" (1 2 28d), ал в No 428. а) Возьмем 6 монет: 1 монета из 1 мешка, 2 монеты из 2 мешка, 3 монеты из 3 мешка и Если вес будет 57 г (10 + 2 • 10 + 3 • 9 = 57), то фальшивые монеты в 3 мешке. 6) Поступаем аналогично. Возьмем и взвесим 10 монет: 1 монета из 1 мешка, 2 монеты из 2 мешка, 3 монеты из 3 мешка, 4 монеты из 4 мешка. Если вес будет 100 г (10 + 2 • 10 + 3 • 10 + 4 • 10 = 100), то фальшивые монеты в 5 мешке. Если вес будет 99 г (9 + 2 • 10 + 3 • 10 + 4 • 10 = 99}, то фальшивые монеты в 1 мешке. Если вес будет 98 г (10 + 2 • 9 + 3 • 10 + 4 • 10 = 98), то фальшивые монеты во 2 мешке. Если вес будет 97 г (10 + 2 • 10 + 3 • 9 + 4 • 10 = 97), то фальшивые монеты в 3 мешке. Если вес будет 96 г (10 + 2 • 10 + 3 • 10 + 4 • 9 = 96}, то фальшивые монеты в 4 мешке. в) Поступаем аналогично. Возьмем и взвесим 45 монет: 1 мо~нета из 1 мешка 2 монеты из 2 е , он ты~е к 4мон ть~· шка@н з~ а, мо етизб меш , м н~т з м к, о~и 8 е 9м не м~а. Есл вес уде 45 г О+ + 3 • О • +О • - монеты в 10 мешке. Если вес будет 449 г (9 + 2 • 10 + 3 • 10 + 4 • 10 + .. + 9 • 10 = 449}, то фальшивые монеты в 1 Если вес будет 448 г (10 + 2 • 9 + 3 • 10 + 4 • 10 + .. + 9 • 10 = 448}, то фальшивые монеты во 2мешке. Если вес будет 447 г (10 + 2 • 10 + 3 • 9 + 4 • 10 + .. + 9 • 10 = 447}, то фальшивые монеты в 3 Если вес будет 446 г (10 + 2 • 10 + 3 • 10 + 4 • 9 + ... + 9 • 10 = 446), то фальшивые монеты в 4 № 43. 3 • 5 = 15 человеко - дней затратила на работу 1 бригада 4 • 6 = 24 человеко - дней затратила на работу 2 бригада 2:лме~/ 'rШ·'о о~и 5,24@и '@,[ 4s= .• а§,. - 1;Х_6- о илGбр ta s ,..... о 1 л 6 u [ No 431. Смог. Он поступил так: распилил третье звено, при этом у него получилось 1 распиленное звено, цепочка из 2 звеньев и цепочка из 4 звеньев. 1 день - отдал хозяину распиленное звено. 2 день - забрал распиленное звено и отдал хозяину цепочку из 2 звеньев. з~, '°''~"§:'~""" Бil 4 -11rрапеееи хяинуе ивее. 5 де ь - д х н ас и нПе в но. х зе,1 ст л з~ь 6 д я - спи ное и отдал хозяину цепочки из звеньев и звеньев. У хозяина стало 6 звеньев. 7 день - отдал хозяину распиленное звено. У хозяина стало 7 звеньев. № 432. Возьмем шар из коробки БЧ. Т.к. надписи неправильные, то там либо 2 белых, либо 2 черных шара. Если вытащили черный шар, то в этой коробке 2 черных шара, а в коробке ББ тогда лежат л 00.,'t"P~~- белы" ,,§lел~.Зsа , б бeru,1l'rш: Ыь_а К ро К Жf!"'i2 е ра. n Если в та е ы ар, iloµo к Б е ел х р~о мУ,!1-1к "" с " ~ ,е Ч лежа, Ьlлы,, 1 "''""'' шар. Ответ: шар нужно брать из коробки, на которой написано БЧ. ный и № 433. Предположим, что утверждение Олега верно. Тогда утверждение Коли неверно, т.е. Коля разбил окно. Поэтому окно разбил Олег. Ответ: окно разбил Олег № 434. а) 1892 год- високосный (1 + 8 + 9 + 2 = 16- делится на 4), в високосном году 366 дней. ~twl:t~~J~:J, м,w~~ 60. ,+, с 366~,1~·~~ ~ об~ , 0 -,-, - = 6 * 24 * 60 = 8640 минут= 6 дней проведет в Петербурге Ответ: 6 дней он проведет в Петербурге 6) пусть х пряников дали каждому ребенку, 5 + 5 + 5 = 15 пряников - съели 3 детей, х-15 х+х тогдах=15пряниковдаликаждому 15 * 5 = 75 пряников было всего роздано Ответ: поезда встретятся через 6 часов г) 3 * 4 = 12 аршин наткала дочь до того момента, пока на начала ткать мать Глава 3. Рациональные числа № 436. ffi"i\ж""f"::'i~'Ь,J """.r:1r,::"\~~'\o/"",J' о, друса тьунr7а~,Н~п~ IO 1-J?д,4~\+t::::~ о JJ t1 L № 437. а) числу нуль п отивоположно само число нуль ~А" " у а~и~,о ~~~J;YJ J Е} jтr~/t_e ь му 1сJv@отf вfоО,н~~~~ьУч7)0 t-j L ймбиssл~.с, ,маа,~. .!:!.Oft о~ я л отив п ж яоv п жи ел ая дробь. Щуь.u n tj №44. :~{\:~:?:~~о~~ ГгJ@)М 7+5+2 14 ~а~о~ UU Ответ: ,3 и б}Т.к.2: 3 ,3: 5и5: 6, то отношение частей равно2 З: 5: 6 н:::+6•2 = ~*2 =~= 1s;-1часть н:::+6"3 = ~,.3 =~= zз"iб - 2часть н:::+6 * 5 = W-* 5 = ~ = З9°iб - Зчасть н~::+6 * 6 = ~* 6 = 12:•з = ~ = 46~ - 4часть Ответ: 15;; zзt; 39t; 46-; в} т.к. 2 : 3 = 16: 24 4: 5 = 24: 30 и 6: 11 = 30 55 Тогда отношение всех четырех частей равно 16 24: 30 55 16+2:::o+ss * 16 = * * 16 = 1 * 16 = 16 - 1 часть lб+Z:::o+ss * 24 = ffi * 24 = 1 * 24 = 24 - 2 часть :::::::o:ss~·::~ -~:i::зо~ 'm::;::о~-з:,::@@~ Ответ: 6 2 ,3 и 5 U О r)Отн ,в х и, sOo: О: О- .. 25 Прибыль 7500 р. нужно разделить в этом отношении 3::::5 * 3 = 1::0 * 3 = 250 * 3 = 750 р. -прибыль 1 купца 3::::5 * 2 = 1::0 * 2 = 250 * 2 = 500 р. -прибыль 2 купца 3::::5 * 25 = 1::0 * 25 = 250 * 25 = 6250 р. -прибыль 3 купца Ответ: прибыль нужно разделить так: 750 р. - 1 купцу, 500 р. - 2 купцу, 6 250 р. - 3 купцу. 3:2:25 д) 27 *20 = 540 человеко - дней - отработала 1 артель 32 • 18 576 человеко - дней - отработала 2 артель 15 • 16 = 240 человеко - дней - отработала 3 артель 15 • 16 = 240 человеко - дней - отработала 3 артель Поэтому число 4068 нужно разделить в отношении 540 576: 240 или 45: 48 20 4!.::::20 * 45 = 41°1:8 * 45 = 36 * 45 = 1620 р. -получит 1 артель .s:~r,,;j:~:~:::(12ap,м, ~~~mтьiQд3 № 440. дроби ½ противоположна дробь -¼; mдроб,¾;:~~:ф ГгJ@)М ,~л~t!] о~ о ш др противоположна дробь - 11 11 1.4. Пропорции №4~a"6'::ro.()o сон с~ е юе №450.а) 1-¼ 1 + 1¼1 = ¼+¼= 1; б} 1 ¾ 1 + 1-fj = f+f=f= 1; mв 1-1~" - "-N-o, 1 2 - ' ~~1 0 1 - ~:~Uы@@Ш 3.2. Рациональные числа № 456. Дробь можно сократить, если числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же целое число. До '°)Jr:\ю, *=~:.lш № 457. Дробь~ положительна, если числа р и q одного знака. №462.а}~ ~~:4=~ , .. , 'о@@Ш №466.а)~=~ -l=x Х=-1 _, " БJ5 =zo '° -lб=х 16 в}-f=~ , , -б=х г)-~={о 30 20 -25=х Х=-25 ~ffi@Ш~o@@Ш 25=---;- -=-iв=-=-iв 25=Х 6 + Х= 12 х=25 х=2 №469.а}¾ и =iz равны N[47)Г=Jn"c.~~~_<>_~(::'\[-v-J \ V /'t(.,.-\oo'r-r~4 т,i ,о 707- -72r (':-'( n JI ц I № 474. а} f- положительная дробь б} ~- отрицательная дробь в}~- отрицательная дробь г) .;-6- не является положительной или отрицательно@)v обью ~t\ол~а~ ~ rгJ о М ~ш~~р~ о~ ш ж} -~- отрицательная дробь з) ~- отрицательная дробь № 475. а} дробь½ противоположна дроби -½ б} дробьf противоположна дроби~ ~~-ffi> "ША~: @@Ш QPьs о л ~ s о ь п п1 ожна о -- О е) дробь -f противоположна дроби =¾ = f № 476. а) I~ I = ~ т.е. модулем числа всегда является неотрицательное число, то I ~ I > О ~т Очи то ые знак rn ~м ,1,, .~,,2:;;J~U, 1 ;;I> о ~~i О~ исла и~тQ~Guu 3.3. Сравнение рациональных чисел №477.~, обей@~~~ол~,ымЩ@~адроб,,у т о оgь е ис и ь. Г\ n б) Т бь С Т Д :цр б С /dзн I 3 cr Я , Мр С Х общему п з ю- равнить п лученные дроби. № 48. Это равенство является пропорцией. Используем основное свойство пропорции: No481.a)~<¼; 37 207 поэтому ш < ззв ooJ,~<'°00 rn1001 № 482. а)~<~ г.к. 6 < 8 и знаменатели одинаковы N~487 -'<-~' -' ~-'-<~-'- _ _'_ ~-"< s S 1 10~ В ff. 7<_i_ )[} -< ! )д< 1 1 11 В \,_:!) а Г\ № 49. Это равенство является пропорцией. Используем основное свойство пропорции: a)"i*12= ~*10; 2*4=4*2; 8=8 равенство верно ~~:~~~р,:,:~Ьр:ое ра JS° ш q~ з '2 з' № 493. а} можно, например: б} можно. 2 З 4 5 б 15 17 ю' ю' 40' 40' 40; ю; w· №495.а}-¼>-1 т.к. -1 -~ и -¼>-~ t?~@ffi~($@Ш 3.4. Сложение и вычитание дробей № 50. Это равенство является пропорцией. Используем основное свойство пропорции: а)¼*¾=¾* f,;; ~= ~ равенство верно N_ 509. а} - : - ;D = - i: - 190 = -:~9 = -1~5 - - : - -1 ~ ~:~~it@@W 00~~ е)-:б0о - 196 = _ lsб_ 196 = -:~9 -~- -~ N~f"'i O 6/":'l ~ 4 ·~ 15 'Y;:1~'(;'1/ry \. 1'1 f'. '\" 'f' '(f=; t' [)4 t '7 1,1, 24~ \0 е::-1"0 'fl 21"-12110 No510.a}-¾+¾= --fв+~= -:;2 = ~ №515.а}х+¾=--; s ' X=---- S S -5-1 ' ' ' ' х -- = -- х -- ' ' ' Ответ:х -¾ б)f+x=-f -3-1 ,- ' Ответ:х ' ' в}х--:;:= - 2 + Х=--:-+ ' ' Х=-=- 0 ' Ответ:х Ответ:х f Ответ:х -¾ Ответ:х -bl № 520.t'"X"':\l'r\'""~ ~сл~о ее ~~~аи@, а з\аМrаtевь~стrвt~ж111f) J 7 /4 _ ( ~( С) ) 1 н 1 № 52t"'JrY'Mл"~"~"~''"or"Y:"'J~~o дроби ·~(нr"tт%н,этрчfF,ачrСJ~те1ьауа~ьпрtt~( n JI н I е) 99 :~ = '!'/-* ffi = 9:.112зо = 1::0 = =: № 53. Используем основное свойство пропорции а)~=¾; 1•х=2*3 ъ -ь х=б:7=~ ~й;~с~:~6;5~t@)~ u:w~u~oб~u )16-32' 16+2=32 2х= X=9:2=z=4z №530.a}-¼*f = ~~:2 = ~ = -½ б)¾*(-¾) = -S= -~= -¾ е) - : *: = - ::: = - ::~ = - :о № 532. а)-2: 6 = -¾ = -¾; m:~¾~~ь@@Ш № 533. a}=f = -¾ и -; = -f являются взаимно обратными б} ~=-¾и f неявляютсявзаимнообратными ~' Уr;Ь " sa,и~Ln.)M ~ш~~"'"~S.,~;Ш l И 2 - 2 яв Я BQMH рат тм е)-1 и 1 не являются взаимно обратными №537.а}~:: (-::) = -::* ~: = - 3~::::::з = - ~ 6) _ ~:: (- 11:0) = ~: * \090 = 2:~;;::~5 =: = z: ' №538.а)-¼:2= -f.z=-¾ 6)-f:2= -f.z=-¾ ~i~~~g~~@~ з)-8:5= -8•4=-2*5=-10 № 54. Используем основное свойство пропорции а};=~ s•х=7·б 8х=42х=42:8=~=~=5¾ ~Ш~!Оl~.а~@~= 51 34' 51 3 №540.а)-f·(-Л=~ з)-~: (-~) = ~*¾= Е =~ =~ No 542. а}(~/= -2·~~:~:(-z) = -~ б} (~/ = -4:~~4) = ~ в} с¾о/ = -lD•{~.l~;:(-10) = - 10100 тщ.(~ ~o@®W ж)(-1(/-:-W-10 * --loffi) -з•1;,3}::~:;:о-з) 1:0100 з) c-¼i -¼-(-¼) * (-¼) * (-¼) * (-¼) = - ~:~:~:~:~ = -~ и) с-¾/ -1•(-1)•(-1) _2._ №545.а}¼* (-¾)+с-¼/=-~+(-¾)*(-¼)=-¾+¾= -;;з = --fi w~-;/-~-:' ~::~~c-r;ti~p~~'* ui*-- 2* =-1 Шоlэ~Ш З 8 2•2 1•4 4 4 4 2 №546.а)-¾• (-*)-** (-*) = ::~: + ~;:~: = ~+~= f+~=~= *=f 3.6. Законы сложения и умножения Для того, чтобы к сумме двух чисел а и в прибавить третье число с, можно к числу а ii~·ffi,~·a@@Ш Для того, чтобы произведение двух чисел а и в умножить на число с, можно число а № 548. а} 80 * 359 * (-125) = 8 * 10 • (-125) * 359 = 10 * (-1000) * 359 = - 10000 * 359 = - 3590000; б} 457 + 985 - 57 = 457 - 57 + 985 = 400 + 985 = 1385; imS@aЗ§;S~'lOO~@Ш ' ' -1,.6 4 = 6 = О = 250· д),Щ' .. :1 Cle~ 11,,.3 ~з - ~с С~ JJ № 55. Используем основное свойство пропорции а}~=; 5 • х= 15 • 8 Sx= 120 х= 120: 5 =24 х=24 ~r!\ mQ v··'ГгЗы~' " ~ф~~с;,:ф~~ч~: :: № 551. а) -is-¼¼-is = -(is+¼¼+i5) = -* = -~ №552.а) -½+~-~= -~+~-~= -s;;-s = --fs ж} (-is+~)-fo = (-is+H)-fo= *-fo=*-fo = * з) -(¾-~) +i4= -(*-*) +i4 = -~+-А= -i4 = -¾ № 56. Используем основное свойство пропорции a}i=; З*х=5*7 3х=35 х=ЗS:3=~=11¾ x=llf v.;Jft:\ @5tШ~ ;~@Ш: :;¼ ~8- х-3 х-З.-8 х Доказываем № 560. а} Если делимое и делитель умножить на одно и то же число, то результат не изменится. б~~" (а: : :1)6': в} я т о,ч бь с на это число и полученные результаты сложить. n=~+~=~= (а+в) :n равенство верно №561.а}-¾: ~+ ** ~-1: ¼ = -¾·f+ ~::~ -1 « 9 = -~+Е- 9 = -io+¾- 9 = _ -3:;1s _ 9 __ ~~ _ 34600 __ 34в01 __ 9 ~~ 6}2: (-f) + ¾: 2- f: 6+6: ¾= Z* (-~) + -fo--&+б*~=-~+-fo-¾+4 = 3.7. Смешанные дроби произвольного знака №Sбw~~1w),~ ~~{Б)м~-,* №567.а)-зf+ (-1¾) = (-з + (-1)) + (-¾+ (-¾)) = -4+ (-¾) = -4f 6)-7½+ (-1¾) ~ c-нc-1JJ +(-½+HJ)~ -в+ HJ~ в+111с 9 ::~ ~~,~~~(~-~~~~~~c¾JS~-l7¾ д)-4\~ , -~-~i+;JJ-~Ys+w e)-s;+ (-9;) = (-8 + (-9)) + (-f+ (-~)) = -17 + (-;) = -17+(-1¾) = -18¾ № 568. а) 13¾+ (-22~ = (18 + (-22)) +с¾+(-~)= -4 + ¾ = -4 + ¾ = -зf 6)25¾+ (-s1¾) = czs + c-s1)) +с¾+ с-¾))= -zб +¾ = -26 +¼ = -zs¼ в)-6~+1~=(-6+~+ -~2+~ =-s+.'!.=-4¾ с)~(Н - ~ ift Wнс д) 1t&@1 + -7 ) 1~+ -~1[Х;2 е) 2¾+ (-~) = 2 + c-fs+ (-~)) = 2 +(-fr,)= 1* № 57. Используем основное свойство пропорции а}х:~=3:5 х*S=~*З Sx ~ х-~ 5= -2.._=2_ х 2 ~·@ш~~:@®~: !: 3 3 З 4 №573.в}i2+ (1¼-ii) = i2+ 1¼--!z= О+ 1¼ = 1¼ ~f:~ш~~t@@ш ~~929 22 № 577. а} (- 5) * f = --f = -зf 6) 7 * (-1¾) = 7 * (-¾) = -~ = -10¾ №579.а} 2¾* (-~) *~ = -zf* 1 = -zf 6)(-;) * z~., с-;)=;*;* z~= 1 * z~= 2~ ~~~!: :'~;)~~·~k@@ш ~ ш~9 9 е)4¾* (з¼* (-~)) = -~* (f*~) = -~*~= -~ = -10; № 58. Используем основное свойство пропорции а} 14: 15=3 :х 14 * Х= 15 * 3 14х=45 х=45:14 ~=з-f; х=з-f; ' ДОКАЗЫВАЕМ №580. а}{-¾)*~* 1¾= -¾ *~*~ = - ~:::: = - ~:~:~ = -¾ -~ № 582. а) значение первого выражения больше значения второго выражения, т.к. значение первого выражения является положительным числом, а значение второго выражения - отрицательным числом, а положительное число больше отрицательного. являются отрицательными, то первое выражение содержит целые части, поэтому их произведение будет значительно меньше второго. № 583. а}(-¼/;-¼- основание степени, 2- показатель степени c-½J'+½J·HH 6) (-¼/; -¾-основание степени, 3- показатель степени г) (-¾/; -¾-основание степени, 3- показатель степени 3.8. Изображение рациональных чисел на координатной оси ДОКАЗЫВАЕМ No 59. а}~=~; по основному свойству дроби имеем ad Ьс; разделим обе части на аЬ: ad Ьс d с -;:;"ь=-;:;"ь; ь=-;;; верно б} ~ = ~; по основному свойству дроби имеем ad= Ьс~· аз елим обе части на ас: "'~ffie~Q~ 0м в~с~~uс~~~и~~; риба ЩJ~равенствасd: ad+ cd = Ьс + cd; d(a +с)= с(Ь + d}; по основному свойству дроби имеем Е = ~; верно г)~ = ~; по основному свойству дроби имеем ad= Ьс; прибавим к обеим частям равенства аЬ: ad+ аЬ = Ьс + аЬ; a(d + Ь} = Ь(с + а); по основному свойству дроби имеем ~ = Е; верно № 591. Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих №592. № 593. Для изображения точек удобно взять единичный отрезок б клеток. №594.а) "~i№mffA~®W №595. №1596. а} О ~ ~ ~ ~ ~ 1 1~ 11 i 111 i 111 i 11 11 • 1 ~ffiCВW~ф@@W l I l 1111 11 ·1 №598. а} -2~ -1 О I i I I I I I I I I I I ·I А б} -1¾ -1 О I I I I I I I I I I I I ·I -~~@Щi~o@@W I I I I I I I I ·I с № 599. а)¼ и f; 9 = ~: 2 = ii- координата середины отрезка № б. а} отношение числа 40 к числу 50; члены отношения - числа 40 и 50; 40: 50 = 4: 5 б} отношение числа 99 к числу 18; члены отношения - числа 99 и 18; 99 : 18 = 11: 2 ,} Sм·. 0°9,5 , i':m1/l и 1 2 : 1 80:9 иу,;~!:l~ д т же число, не №60. а}~=~; ~=~- ~=~, бх=4 х=4:6=~=¾; б~;_!_. ~=_!_. =9 _ . _9_~_ 1_ ,~~~~'W,~2в@@rn х=2 № еоо, (2 + 2¼): 2 = 4¼: 2 = f: 2 = ~ = 2¾ с(2¾) 2¾ = 2"iб (2¾+2¼):2=4¾:2= !:}:2= ~=2¾ D(2¾) 2¾=2~ z.,¾):? - ,1~. № 601. а) пусть координата точки В равна х, тогда 5=~ х+2 = 10 x=l0-2 х=8 B(8j б} пусть координата точки В равна х, тогда к+~ 3=~ х+¾= 6 в} пусть координата точки В равна х, тогда ~=9 Зх+¾=4 3x=4-f Зх=З¾х=З¾:3= ~:3= H=l~ 8(1~) No 602. а} пусть С(х), К(у) m~10J~P~·@@ш у=~+ 1;-= 8 Ответ: С(~) К(8) б} Пусть С(х), К(у} ~=-=f-=¾:3= --fi-расстояниеАСиСК в} Пусть С(х), К(у) 3~= -'i-3-i=; =~:3= * =~-расстояниеАСиСК №бОЗ.а}АВ=2-(-3¾) = z+ з¼= s¼ 1 1 1 1 б}AB=-2zi- =-2-+4=4-2-=1- У9м~- - : ~4~-1~~ u1ill -б- @5{&1-~w~U №604.а}~= 10: 2 = 5 №607.а) -4+;-i) =~ = -2¼ б}-82+3 = ~= -2¼ )~-П)~о@@Ш № 608. а} пусть число х - координата точки В, тогда по формуле координаты середины отрезка -l = -5/х Ответ:В(З) -5+х=-2 Х=-2-(-5)= 2+5=3 ~" ,-~о ,ШВ,~фор(3~"М'°'Реs,а lOj~ А - =20 - =18 1 х= st}- 1 х=21 X=~6fo о Ответ:В(2fо) No 609. No 61. Зх= 10; x=l0:3 ~=3¾; х=З х =2 x=l x=l №610. №611. №612. .~~wfl (()1@~ . № 613. г.к. -а - в= -(а+ в} WO, б;J:~ ~ :' ~R:;7 № 614. а} пусть х - координата точки С, тогда т.к. С - середина отрезка АВ, то •+• Х=- ' Ответ:((~) б} пусть х - координата точки С, тогда г.к. В - середина отрезка АС, то а+в а+к -=- а+в=а+х ' ' г) пусть х - координата точки С, тогда ~- расстояние от точки А до точки С, координата точки С равна а+~= за+3в-а = 2а3+в Ответ:С{2а;в) №615. Уr&1~@@)~,~@@Ш 14: 4 = 4: 4 = м- длина четвертой части отрезка АВ 2~+-Ь,= 2 +~ = 2 +*= 2-bl М(2*) 2*+-Ь,= 2+1~:7 = 2 +*= 2+~= 2+1¼= з¼ Р(3¼) trro)~ru-~Qes®ш ~: 4 = -la= ii,- длина четвертой части отрезка АВ -~+2_=-ннз=-.2_= _ _!. 7 14 14 14 2 М(-½) _2-+2-= -~= -~ 14 14 14 7 U~@П)~о@@Ш № 616. а} по определению среднего арифметического чисел ~а=2¼ .±:: = ~ ' ' 4¾+а=5 a=S-4¾=~ Ш~с§р~,о~@Ш ' ' 3+а= 6*2 ' ' -3+а =з a=i-(-f)=i+f=~=2 Ответ: а= 2 № 617. По определению среднего арифметического чисел о -1?&~П)~о@@Ш1 2=2 Ai{z) ~=f=¾ д2ф 3.9. Уравнения № 618. а} 2 - 2 = О верно, является корнем уравнения т@m,л,r;;гмх::JГп"\М в о, в те ~:рав3~~ЁJ 'О 4 [) :,::р,о: :g:л::": ,о:~ :р,:"'"": е) 3 * 2 + 4 = 6 * 2 - 2 10 = 10 верно, является корнем уравнения № 619. а} х - 2 = О х=2 б)х+4=0 х =-4 в} l00+x =0 Х=-100 г) х-5= 6 Х= 6+5 № 62. а) Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Пример: время движения обратно пропорционально скорости движения на одном и том же участке пути. №620. а)S+х=З х=З-5 Х=- 2 6)- 7+х= 2+ 7 x=S в}х+З= -6 Х= 6-3 Х= -9 r) 12 +х=-8 Х= -8-12 Х=-20 i?&@'~-~ l@@~;: Х= 1¾+4 х=5¾ №621.а}х-½ x=l ' 12 12 е) i½+x = 1 №622.а)2х=4 х=4: 2 б)бх=24 в}7х=-14 г)-5х=100 х = 24: 6 х = -14: 7 х = 100: (-5} :§,б~~@@Ш №623.а}Зх=2 б)бх=-7 в}-2х=-13 г)2х=0 х=2:3 Х=-7:6 Х=-13:(-2} х=О:2 г:::dд Qф~ :ц:10~~5 ~~~~)~q~oL%1:(-1} №624.а}2х ' x=z: 2 ' Х=- ' дJ¾х = 1 Х= 1 :¾ 6) Зх= " е) fx = -3 3: (-½) в}- 2х=¾ х=¾: (-2) ' X=-- S ж)-¾х=О х ь п: (-¾) г)¼х = 3 х=З :¼= 3 * 2 х=б з)-4х="i5 x="i5:(-4) и) 2х= 1¾ Х= 1¾: 2 ' 2 № 625. а} 2х - 6 = О 2х=б х ь б : 2 х=З 6) 12+3х=0 Зх= 12 12:3 х =-4 в)-х+ 7 =0 -Х=- 7 х=7 r) 15-Зх=О -Зх=-15 Зх = 15 Х= 15: 3 х ь б : 3 х=2 х =-4: (-2} х=2 х=З: 5 Х=-10 (-5} х=2 № 626. а} Зх + 2х 10 Sx= 10 х=10: 5 х=2 г) 7х+х+ 3= 19 Sx= 19-3 6)5х+х= 6 6х =6 х =6: 6 x=l д) 5 =4х-3х 5=1х в}4х+ 2х- 7 =5 6х=5+ 7 6х= 12 Х= 12: 6= 2 е) 8=3х-х 8=2х 3х-2х= 1 x=l 3х-х=6 2х=6 х =6: 2 х=З No627.a}x+3=3x-7 6) 3-х= l+x в} 7х + 2 = Зх -10 t?i~J~W,~o~Ш г) Sx-8 Зх-8 5х-3х= 8+8 2х=0 х=О: 2 д)¾х-3=2-¾х ½х+¾х=2+3 ~х=5 ~х = 5 е)5х-2¾=¾х Sx-½x = z¾ 4½х = z¾ , , -х =- ' ' t?&@~~ ж)5х-1=4х-6 ' а 5х -4х = -6 + 1 в~~sх = -5 -{ох= -5 х~~ш~i@@ш i¾x = -~:6 s ' -х=' ,о №628.а}2(х-5)=9 6)12+З(х-1)=0 в}-(х+8)=3 Wis@ ffi~ о~@Ш Х=~= 9½ 3 х=9½ г)l-5(2-Зх)=б д)7-З(х+1)=6 e)S-2(3-x}=ll 1-10 + 15х = 6 x=l ж} 2х-(7+х) =2 2х- 7-x=l 7-Зх-3=6 5-6+2х=11 ~-~ ГгJ@~ Шз~О~~ш ' Х =-3 Х= 6 з)-3-3(3- 2х) = 1 -3-9+ бх= 1 2х-х=2+7 6х=1+3+9 х=9 6х=13 ~&@Ш~¼о@@Ш х=2 Х= 10 г) З(х-1)+х=2х Зх-З+х=2х Зх+х-2х=З 2х=З х=З: 2 х=¾= 1¼ Х= 1¼ д) 5-х=4(х-З} 5-х=4х-12 -х-4х=-12-5 - Sx=-17 Х=-17: (- 5} Х=~ = зf х=З¾ Х=~= зf х=зf е) 5(х+4) +х=б 5х+20+х= б Sх+х=б-20 бх= 14 Х=-14: 6 Х=-~=-~=-2¾ Х=-2¾ x=S: (-2} X=-f = -z¼ Х= -z¼ к)2(х+f)-х=З½ 2х-~-х = з½ х=21: (-2) Х=-~= -10¼ Х=-10¼ л)Sх-(¼х+9)=18 Sx-¼x-9=18 х=7 :f = 7 *¼ х=2 м}-2(¾х+7)= -21 -fx -14 = -21 2x-x=-f+~ 4¼х=18+9 -fx=-21+14 i&@Ш~'~@iм № 63. а) стоимость карандашей прямо пропорционально их количеству, поэтому за них заплатят в 2 Р"~;6~· 8'~· ~~ @@~ б}ст мо кw ~ ш= м пt,10 ци а ноихко и вgн з н хзаплатятв2 раза н ~- . Q 3.10. Решение задач с помощью уравнений № 630. Пусть х страниц прочитала Маша, (х + 40) страниц ей осталось прочитать, х + (х + 40) = х + х + 40 = 2х + 40- страниц в книге g1,.-'~1,~o~~,o.,tv:2::,~z::r~м ь ка р- оUма~кеf~~~ - квар р-в доме г) Пусть х домов - двухэтажных, l0x домов - одноэтажных, х + 10х = llx домов - всего в поселке N~f:iбло~а~ой~е, з, ~~'1f,VJ \ · f~t1.x1~61°i-~лcyrrare 7 /п _ t ~( С) JI н I № 'Fi"'JMм'"f-'io~eл~, 3 р~~~у,ил ~ ~)r-,1f.V\aiнtчпo1x 11} tY/~HHO~H'(~f-f)- чтr~ nрлучил № 634. а} х - задуманное число, (х + 8)-увеличенное на 8, г.к. получилось число 33, составляем уравнение: х+8 =33 б} х - задуманное число, 4х -умноженное на 4, г.к. получилось число 52, составляем уравнение: 4х=52 ~gд иое~~"r;;·'"~@J~баsлеsии ,, о, и " и~~У~'() \;::) о UU 7х = г) х - задуманное число, (х -4) - получилось после вычитания 4, 5(х -4) - получилось после умножения на 5, г.к. получилось число 35, составляем уравнение: 5(х-4) =35 № 635. а} х - меньшее число, (х + 6) - большее число, г.к. их сумма равна 18, составляем уравнение: ~·~'~""~Q@)M r8~~я~~~ UU № 636. а} х - меньшее число, (х + 4) - большее число, г.к. их сумма равна 22, составляем уравнение: ~е-,~~~@@Ш -&о ь е , - - ен числ , , :_ ,с , р , , оО" , м , е О № 637. а} х - меньшее число, 5х - большее число, х = 7 - меньшее число 5 * 7 = 35 - большее число Ответ:7и35 б} х - меньшее число, 3х- большее число, г.к. их сумма равна 28, составляем уравнение: х+3х=28 4х=28 х=28 :4 х = 7 - меньшее число 3 * 7 = 21- большее число 3х=39 х=39: 3 х = 13 - меньшее число 4 * 13 = 52 - большее число Ответ: 13 и 52 г) х - меньшее число, 7х - большее число, г.к. их разность равна 54, составляем уравнение: 7х-х =54 бх=54 № 638. а) Пусть грибов - нашла сестра, 3х грибов - нашел брат, г.к. всего они нашли 24 гриба, ~m~Ш~о@@Ш х = 6 грибов - нашла сестра 3 • б = 18 грибов - нашел брат "'~~б~лбр~~ '. ~cg~o& и~'oC::>0uu гюлках бЗ 3х= 63 № 639. Пусть х страниц осталось прочитать, 2х страниц прочитали, г.к. в книге 60 страниц, составляем уравнение: х+2х= 60 3х=60 х=60: 3 8х=72 х=72 :8 х = 9 машин - грузовых 7 • 9 = 63 машины - легковые Ответ: 9 грузовых и 63 легковые машины на стоянке № 64. а) стоимость карандашей при постоянном их количестве прямо пропорционально их цене, "~ "'~~.В~р. @@~ б) о ь~а ан а е и очrуя н х оличе ~п ц о а ьноихцене, поэт м з п я р м шµ. . : 2 . Q № 640. а} Пусть х кур было у хозяйки, 4х цыплят было у хозяйки, х=4 куры 4 * 4 = 16 цыплят ебц~л~-,~ ~ш )~Уf.Т х о у of'l't1к , было х з V , о Х . x=r в те о!иi, о ав е 0 ение 4х= 16 Ц~П)~о@@Ш № 641. а} хм - полотна в меньшей части, (х + 12) м - в большей части, 2х = 112 х=112: 2 х = 56 м - в меньшей части 56 + 12 = 68 м - в большей части Ответ: 56 м и 68 м ~c.,м~ec,и,ffi"° й~щ ,11@,о@й м· вАу е б а яfyv ав не: О ' с о 2х+ 1 = 16 2х= 16-1 2х= 15 х=15: 2 № 642. а} Пусть х столов - привезли в школу, (х + 230) стульев - привезли в школу, 2х=460 х=460: 2 х = 230 столов 230 +230 = 460 стульев ~ 2::,~:~~'~'""'~fмсг~ош,, ~~ro ча Ш~,~еО~~~Ш х+х+17 =53 2х+ 17= 53 2х 53-17 2х=36 ШЧ(' ,~,,§~р ,Ci.J, ГгJ@)М 1= ьч в и ~о~ Ш ! . чек ма ов участвовали в соревнованиях № 643. Пусть х р. - досталось одному, (х + 4) р. - досталось другому, г.к. всего было 15р, составляем уравнение: х+х+4=15 2х+4= 15 5 р. 50 к.+ 4 р. = 9 р. 50 к. - досталось другому Ответ: 5р50к.и9р.50к. No 644. а} Пусть х р. - заплатили за печенье, Зх р. - заплатили за конфеты, г.к. за конфеты заплатили на 6 р. больше, составляем уравнение: Зх-х= 6 2х=б х=б: 2 х = З р. - заплатили за печенье Ответ:Зр. 4х-х=720 Зх=720 х=720:З х = 240 к.= 2 р. 40 к. - заплатили за линейки Ответ: 2 р.40к. № 645. а} Пусть х лет дочери, 8х лет папе, г.к. дочь младше папы на 28 лет, составляем уравнение: 8х-х=28 7х=28 х=28: 7 х = 4 года дочери 8 " 4 = 32 года папе 5х=25 х=25 :5 х=5 года сыну б*5=30летмаме Ответ: 30 лет маме № 647. Пусть х кошек было, (10 - х) собак было, 6(10- х} галет съели собаки, 5х галет съели кошки, г.к. всего скормили 56 галет, составляем уравнение: 6(10-х)+ 5х= 56 бо-б»s~@ П) ~ о@@Ш 10 - 4 = б собак было Ответ: 4 кошки и 6 собак № 648. а) Пусть х было кур, (19-х}- было овец, 2х ног у кур, 4(19 - х) ног у овец, trm~IoJ'~'~'@@ш - 2х=-30 Х= 30: 2 х = 15 кур было 19-15 = 4 овцы было 2х+ 120-4х= 74 - 2х= 74-120 - 2х=-46 № 649. Пусть было х - треугольников, (15 - х) - четырехугольников, Зх -углов во всех треугольниках, 4(15- х) углов - во всех четырехугольниках, г.к. всего углов 53, составляем уравнение: Зх+4(15-х)=53 15- 7 = 8- четырехугольников Ответ: 7 треугольников и 8 четырехугольников №1 650. а} Пусть было х монет по 2 р, (19 - х) монет по 5 р, wд:'~ww1P·'~~M ~~ii~ i!/~ео~&ш -3х=74-95 - 3х=-21 х=21: 3 х= 7 монет по 2 р. w~;;~ р~о ~ 'k(гJ(QJµ ~zп~:~::1~2~1.4~t~~и~ные, г.к. всего денег было 27 р., составляем уравнение: 10х + 20(170- х) = 2700 10х + 3400 - 20х = 2700 - 10х = 2700 - 3400 № 651. Пусть х учеников было у учителя, ¾х - половина учеников, ¾х - четверть учеников, г.к. всего 100 учеников, составляем уравнение: х+х+¾х+¾х+1=100 i~0@Ш~о@@Ш х=99 :4 = 99 *u= 9 * 4 = Збучениковуучителя х=Зб Ответ: Збучеников № 652. Пусть х учеников посещают школу, ¾х - изучают математику, ¾х- изучают музыку, fx- пребывают в молчании, составляем уравнение: ¾х+ ¾х+fх+З =х 14+7+4 ~@Ш~о@@Ш 23х = 3 х = 3 : fв- = 3 * ~ = 28 учеников посещают школу Ответ: 28учеников Дополнения к главе 3. №658.6} прих = 5 2х+ 1 = 2 * 5+ 1 = 10+ 1= 11 №659.а}приа=l,в=З а+в=1+3=4 g--®- ~-,~ ~@Ш r'r! 11i.x 5 у х = - = 10- р " у 4 ,n, 'I I QI 4lc- вQ еслих=l,то х-1=1-1=0 2х+1=2*1+1 2+1=3 3-3х=3-3*1=3-3=-2 l+¼x= 1+¼•1 = 1+¼= 1¼ еслих=3,то х-1=3-1=2 2х+1=2*3+1=6+1=7 3-3х=3-3 * 3=3-9=-6 1 + ¼х = 1 + ¼ * 3 = 1 +; = 1 + 1 ¼ = 2 ¼ 1,то х-1= 1-1= 2х+ 1 2 * (-1)+ 1 = 2 +1 = 3-3х 3-3 * (-1} 3+3 =6 1 + ¼х = 1 + ¼ * (- 1) = 1 -¼ = ¼ 5,то х-1= 5-1=-6 2х+ 1 =2 * (-5) + 1 = 10+ 1 = 3 - 3х = 3 - 3 * (- 5} = 3 + 15 = 18 1+¼х= 1+¼*s = 1+~= 1+ 2¼= з¼ ½,то x-1=½-1=-f №662. 2, ,' 1, то 2х = 2 • 1 =2 2, то 2х= 2 • 2=4 02=0 + о =0 2, то 2х 2 • (- 2}=-4 (-2}'0(- 2} • (-2}с4 4,то2х 2*(-4}=-8 (- 4}' 0 (- 4}' (-4} 0 16 №бб3.Р=2(а+в) а}Р=2*(2+3) 2*5=10см №664.S=ab a}S=2 • 7 14см2 Nобб5.Р=4а S=a2 а} Р=4 "а 4 * 3 12см б}Р=4*а 4*8=32см в}Р=4 *а 4 * 10=40см S= а2 32=3 * 3=9см2 S= а2 82=8*8=64см2 S= а2 102=10*10=100см2 е)Р=4*а 4*2¾=4*~=11дм S= а2=(2¾/=2¾*2¾=~*~=~=7"iбдм' №667. V № 669. а) 3 р. = 300 к. 7*50+2*300=350+600 950к=9р.50к. № 67. а} обратно проп~~Q_ная зависимость 3 • 3 = 9 ч - ой пе~ 9rfi\eтoCп'm10~ ·;.: ч~ ме;7;е11тоц,елис, Nоб70.а) 2 • 60+3 • 5= 120+ 15 = 135 км №1 671. а} 24: (8: 2) = 24 : 4 = 6 часов - бригада покрасит 24 окна № 672. а} 8 • х руб. - стоят 8 книг № 673. а} 50 * х + 4 * 2 = 50х + 8 км - преодолел турист ~t:'гf?w·~·~4c(~~oc, m¾-x~ t ~7д-~ \-~~?атQ7~ Q ~\_U_JШ No 674. 1 : а=~ часть бассейна наполнит 1 труба за 1 мин, 1 : в=; часть бассейна наполнит 2 труба за 1 мин, ¾ + ¾ = ~ часть бассейна наполнят 2 трубы за 1 мин, JffS'f'ill~"~'"'"~M :w~~С::J'Ь'~&ш ,) а= , в= 30, тoill = 7о+зо = 10() = 21 минута в)а 60,в=90,то~= :::::=51:00°=Збминут Доказываем N_~.a "/'c;"~>s+ssШ)';-. ~se~so @Ш +в ,-Б в-а Б f:}= . 2 - 2 = р в овер № 680. Пусть х - одно число, тогда х + 13- другое число, Х = 12 - ОДНО ЧИСЛО 12 + 13 = 25- другое число wт·Wvco,r,;J@)M :~8~я~~~ UU 2х+ 12 =48 Lr&@}~ ~о@@Ш № 681. а) х - одно число, х + 17 - другое число, Х = 16- ОДНО ЧИСЛО 16 + 17 = 33- другое число Ответ: числа 16 и 33 6} х - одно число, х + 48 - другое число, г.к. их сумма равна 72, составляем уравнение: х+х+48=72 2х+48=72 2х=24 Х = 12 - ОДНО ЧИСЛО 12 + 48 = 60- другое число Ответ: числа 12 и 60 ~о,~~д~:'"~ rr::J@)M ;ы{"Д,7 '~'~P~Q~ о ш 2х+39= 57 2х= 18 Х = 9 - ОДНО ЧИСЛО 9 + 39 = 48- другое число Ответ: числа 9 и 48 г) х - одно число, х + 2 - другое число, г.к. их сумма равна 38, составляем уравнение: х+х+2=38 2х+2 =38 № 682. а} Пусть х - одно число, тогда х + 50 - другое число, Х = 127 - ОДНО ЧИСЛО 127 + 50 = 177 - другое число 2х+98= 760 2. Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой No 687. а) точке А симметрична точка D № 688. а) отрезку АВ симметричен отрезок DC 6) отрезку ВМ симметричен отрезок СМ ~,}о,::,=:~~с;"":';Р:::: :·P:~s:,c: @@Ш т~зуN трчВорек от зк си т ичен р Q ж} отрезку AD симметричен отрезок DA No 69. а) прямо пропорциональная ~А"Р~~ w ~~0 ~ 1 f10!5~т~tо"1л{Эзя) / ,6-i ~\ ~\ U Jj t:-j L № 691. Прямоугольник имеет 2 оси симметрии. № 692. Квадрат имеет 4 оси симметрии. № 693. Окружность имеет множество осей симметрии. № 70. а} прямо пропорциональная ~А"'~"""" w rr:J~O ~ J fJjб~т~~р~он лgая / ff) Г\\ ~\ U )J t-j L №700. м rr=.JJ~~ ГгJ@)М Точкапер~з~~Q~ uu Для точки пересечения отрезка АВ и прямой в должна быть симметричная ей точка относительно прямой в, но эта же точка лежит на оси симметрии, т.е. она симметрична сама себе и лежит на прямой MN. Поэтому точка пересечения отрезков АВ и MN лежит на прямой в. №702. №703. U&~oCS@W No 704. а) .• А б} • В ~m@пэ ~о@®ЕЯ №705. )'?l(@:\~ ~ oCS@W '81 No 706. 1 U&~:~Z'iio@@W 'J ' ',,,~ В2 4. Занимательные sадачи. № 707. а} Пусть х кг - весит рыба, ¼х кг - весят пол рыбы, составляем уравнение: x=S+¼x x-¼x=S ¼х= 5 х=5 :¼ х 30 * 2 = 60 руб. Ответ: книга стоит 60 руб. Максимальное и минимальное расстояния совпали, поэтому машина проехала 1000 км. г.к. одновременно едут только 4 колеса, то получим, что машина максимально могла № 709. Пусть х чел - знают математику и философию, у чел. - знают математику и не знают философию, z чел. - знают философию и не знают математику, по условию задачи имеем: х =¾Сх + у)-философы среди математиков Wm~:~:Y~o~@@rfC х +у-все математики, х + z - все философы, сравним их с помощью вычитания (х +у)-(х + z} =~(х + z) -(х+ z) = -¾сх + z) < о, поэтому (х +у)< (х + z} и математиков меньше, чем философов Ответ: больше философов № 711. Пусть х - в классе девочек, {х + 5) - в классе мальчиков, 3 "х - дружеских пар у девочек, 2(х + 5) - дружеских пар у мальчиков, г.к. это одни и те же пары, то их количество одинаково, составляем уравнение: 10 + 5 = 15- мальчиков 15 + 10 = 25 учеников Ответ: 25учениковвклассе. № 712. Г.к. в турнире участвовало 8 команд, то каждая команда сыграла по 7 матчей. команда, ,о~тм~и, '~"Y"@~rn Наи е е ь:о ич ст ов м7,27 \дlf'f'л' \4·f'3fr=;,112,rr 'РР" .-:-:. 1 ( ::1 n 11 н 1 №1~м1воr:::'11~,о_r;;-; ,11!5,'::'}F.::'\~''·"s 'fPr"o/'11~11 (г''i'r·f1''1"7 /п _1 ~1 О JI н 1 №75.la} 100 г раствора ----------- 4 г соли 300 г раствора ----------- х г соли прямо пропорциональная зависимость 1()0 4' х = 3~::4 = 3 * 4 = 12 г соли содержится 2::::0 = 1::0 = 4 г соли в растворе Ответ:4 гсоли N't:'5Н{""\ < O,~O~б}f;;"lD,658~C'\~ \ V рfЧ,Б!О~ OfSf ~s51 n р OJ51/r.i0,6~8(< ~( С) ) I н I N!':'5JFj'f'i0,657"?'l ~ 6)~,485 ~~~ у t>~·б&\0·154(~ 1 n 1°1'7'~0,зчs't~r n 11 н 1 №754. а} О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 wlct 6,090 ~"@[ОJ~Осм~, , ~,40 к fi.4 м 7 м=7,Dк 74м= , мn ,Z 7,074 = 5 <(3" 8, -Ь'т 5 8,5 №75~'r(м7~,~~ 16,0~~Cv-;J ~'1rr~=,9f1fM41'1ff 14~Yn 1~t~0t) J 1в,~=rмшсм № 75t'1t5.39f13, 5~,7~ 7F;';"l 6,07rr;:"jf':":\~ 1}ъfо7т1г \т\ к~п4вр1fl4l4~1/п ~~т~,вс(§ ) 19~= rт400 кг Сложение и вычитание положительных десятичных дробей № 759. а} • 1,5 б} • 3,7 в} • 12,30 r) • 7,84 u:д~~ ~~·@@~ 12 534 ~ 137,874 16,154 №760.а}_б,48 6)_7,26 в)_2,528 г)_7,200 ---1.,li ___bl2 ____!,_2_QQ ~ u?&@ ffi~ o(s@~~~I°52 2,99 3,989 № 761. а}+ 38,00 ~ 6}+7,39 в}. 0,736 -15.,__QQQ г)_8,248 6000 'П~~~,~@;@М 5,301 1,22 № 762. а} 7,48 + 3,19 + 1,12 + 6,81 = (7,48 + 1,12) + (3,19 + 6,81) = 8,6 + 10 = 18,6 "!~9+~~1.8~+1.2~- i,- m 6, 8К ,3 - - 4, on (1 , 1 8) + ( ,3 30,:;)\ 1 , 1 9 16,19 "i\'в, 4 6, в - , Ц,, s - , s 1 (IJ', 4 - 2, ',,/,9 ,4 ,з №763.Н":Jм•·z"l:"13~-~-,.~c:::'\.~ ь1"sr-i2e,- f'2{M''l6 f}зrs7,~ = ~,{s~4e,зrl =А2!з9s = з.ьоз №764.а} 2,5+3¾ = 2"io+ з½ = z½+ з½= s +9= s¾ б} 1¾-2,25 = 1¾- zНо = 7¾- z¾ = s¾ = s½ t?~m:i}~¾o@@Ш е) 12 :0,3 12 :fo-= 12 *~ = 4* 10 = 40 № 765. a}fr;+ 2,5 =0,1 + 2,5 = 2,6 б} 7~- 2,15 = 7,03 - 2,15 = 4,88 ~'"u¼c~,~ ~ ГгJ@)М u1щ~Шо~о~ Ш е) 6,09 + 2--fs = 6,09 + 2,04 = 8,13 № 766. а} Р = 2 • (2,3 + (2,3 + 1,9)) = 2 • (2,3 + 4,2) = 2 • 6,5 = 1Зсм ro(2~, w-2~4,08~~c , ~ iFJ=.f- (1 ,1 1- ,!fn= , 'f-7,3J 2 , =efc = • + - 7, =Ii• +1, =~ 1, = бдм № 767. 6}16 см+ 4,35дм 1,6 дм+ 4,35 дм= 5,95дм в}7,35м+4,9дм 73,5дм+4,9дм=78,4дм 7,84м № 768. а} Р = 490 мм+ 48 см +4,7 дм= 4,9дм + 4,8дм + 4,7 дм= 14,4дм т~, ,~~~34м@@Мм + , м O,ftip - +3,8с + , cN(=l.1, + ,:Зд 1,!,.tc 12, с CJ м , с~4 м №77. а} 15маляров-------8дней i 10маляров-----хдней обрат о пропорциональная зависимость ~ =;;; х ~ = * = 4 дня потребуется 10 малярам w~. д~~~8/i)/~ Сп rr:J@)M uL 1 ~-д~и ~о~ Ш о ратн пропорциональн я зависимость 1 = ~; х = ~ = ~ = 40 дней потребуется 1 маляру Ответ:40дней № 773. 12,6- 2,8 = 9,8 кг- яблок собрал Алеша 4.4. Перенос запятой в положительной десятичной дроби №7wJ;\,Q QDб) "~'"'~~~ц,фры ~г)~пfа,;н~4~~J t И1~t1~~~цифр №7~/\' 1 ~ г4,~цифf"':J~~ифры ")rir10aн\4tиf~ l nд)Jво/л;s~,р ~( (3)вrtв}19цифр № 779. а) а) если запятую перенести на 3 цифры вправо, то десятичная дробь величится в 1000 ~~~Же~дГ)~~ 0~1cs,1000pas № 78. 18 м сукна---------- 63 м ситца 1 14 м сукна-------- хм ситца ~ш~:~,с:J@@~ № 781. а) перейдет на 3 знака вправо No 782. а} число 325,49 больше числа 32,549 в 10 раз ~027~, ~2,~ООО@@Ш IJ Иj1/1 47 5 е иfi'i,a ,7 раз О и,110 4 °,,,л ч~а , 34 оеэз № 783. а} число 0,4853 меньше числа 4853 в 10000 раз № 784. а} 7,3459 • 10 = 73,459 7,3459 + 100 = 734,59 7,3459 + 1000 = 7345,9 ;Ofmc~, raJ7~829,@~m- 297 tl~ • й = , Г)J,1 о 913 (9)1.з • 1 = 130 I '\)'с Lh, • о - 7 'Q У,2 о 7 о №78t"\f")'f4,'•,,-::'l ~4,f"',';'1,341r::'l~~бм "4;Pf 1M!f \34(м ( П l f)t) 9,s~ ~= s:6(5 ~( (е!Р,1~5~ =11435,6 м № 788. а} 1,246 ц = 124,6 кг 6} 12,46ц= 1246 кг в} 124,6 ц = 12460 кг ~SOO~c ~~1524@@M245sc 51,4§ = \п оз} ' т 48,5 г ~7 8 =7, 48кг З гlГО, 3 к,-...,J л) г= ,О Se) '--J.} = 5 г №789t,rj7"'1 r,;::'J ~ с;-; r::l~(;""VJ a\12r r 711\41 к~·~t21 r9l l,f5 7' /n в} .:.2еб ~f,sfy) 1 ~га1= 1,45 км2 No 790.1 см2 = 100 мм2 1 дм2 = 100 см2 'П~@П) ~ о@@Ш №791с'1п~м'~~-GJ /:J~CVJ ~'+lrfwf.\4,154~7Lf~3=r,тy,fn в}_з,д~{03f33 ) р~з1=0,00]м3 № 792. 1 см3 = 1000 мм3 4.5. Умножение положительных десятичных дробей No795.a)2,4•.2=_4,8 ~1*3.=9,3 ~(°о)" - ~·5*4=10 ~F\o о~о~ ж ,2 0,4-г , s з) Ji ( ~\; ~ о~• eJ11=fo№1 r,, U tj № 796. а) , 6,5 _Q,_QQ1_ 0,0260 6} ,0,09 __Q,_1§_ 0,0162 в}, 7,6 ~ 0,0380 г) , 0,048 _____Q,_Q2_ 0,00432 и), 3,056 ______Q,_t, 1,8324 №798.а), 4,381 б} ,7,713 -~0~2 ______QJi 0,8762 6,1704 в), 620,4 ______Q.,Q_I 43,428 г) , 0,2569 -~0~6 0,15414 и}, 512,5 ____Q,_@_ 41,000 №799.а) , 2,3 б} ,4,3 в} х 0,22 с)' 53 ~'-'~ _LI -~3~3 _____Q.,]_1 ' 23 ,86 66 53 _п_ __1L __§_о_ UL 2,53 5,16 0,726 16,43 д), 0,68 е) ,0,72 ж}, 4,35 з}, 3,2 ~&@Ш~о@@~ и}, 0,084 ~ ~ 420 ___1lQ_ 0,04620 № 80. 18 аршин сукна ------ 30 р.1 15аршин сукна -----х р. , /щ·~~m~с)@@~ № 800. а) 0,25 • 0,3 • 4 = 0,25 • 4 • 0,3 = 1 • 0,3 = 0,3 б} 0,2 + 0,13 + 50 = 0,2 + 50 + 0,13 = 10 + 0,13 = 1,3 тО,1~~,2~01&]), , ш (d,1к-. + : = о, 2.v. О 8 = ,1 + = _, о , , - ,, ,з- ·О· - , е) , ,7 , = , 1,6 1, = о,4 • 1,7 = о,68 № 801. а) 2,4 • 4,8 + 2,6 • 4,8 = 4,8 • (2,4 + 2,6) = 4,8 • 5 = 24 ~ .. ,~- . rn,o~.,-o~@JW : ,1' 1, - , : , : f"rl : , '4, : 7, о ,"у + , , , \4,9 + 1 , 1:) 6, № 802. а) 0,1 * 0,1 = 0,01 б} 0,2 • 0,2 • 0,2 = 0,008 в) 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 = 0,0081 r) 0,05 • 0,05 = 0,0025 д) 0,6 • 0,6 • 0,6 = 0,216 ~о~о ", ~~ @@Ш )fO,e О (' 0 '_' 0 О,[7'\' , - , о о,+ - - µ - о и} , - ,4) = , = , 0,5 • 0,5 = 0,125 к) 0,8 + 1,12 = 0,8 + 1,1 • 1,1 = 0,8 + 1,21 = 2,01 л) 1,22 - 1,2 = 1,2 • 1,2 - 1,2 = 1,44 - 1,2 = 0,24 м) 1,52 0,25 = 1,5 • 1,5 - 0,25 = 2,25 - 0,25 = 2 № 803. а), 9,51 6), 66,3 в), 8,47 г), 5,42 ____!_I!_ ----1J, ___QМ _____LJ_ 7608 • 3978 • 3388 • 1626 --2.iL ___ill_§_ ~ 3794 .1030 1.o.1L 1,7510 • 4842 _..1ШL_ 0,12912 № 804. а) х 3,32 6} х 3,02 в),3,21 r) х 95,5 _Q,_!Q1. ____.о_,_1§_ _Q,_lli ___l_,ll 332 + 2416 642 • 6685 .l]1_ 1208 1926 955 0,33532 ill.L_ ---1§.Qi_ l.№L_ + 1722 + 1998 3444 2997 illL_ ____П2L_ 0,208362 0,731268 №1805.а) 7,668 • 24- 9,68 = 174,352 184,032 6} 35,22 +45,83 + 2,6 = 164,378 х 45,83 • 35,220 -~'~6 119 158 • 27498 ---11..о..о_ 119,158 164,378 в) 5,306 • 42 + 5,36 • 82 = 662,372 х 5,306 х 5,36 • 222,852 439 520 662,372 ______1I _____п .10612 .1072 21224 4288 222,852 439,52 г} 1,654 • 3,4 + 6,4 • 9,5 = 66,4236 х 1,654 х 6,4 ______1А ----'L-"- , 6616 • 320 ~ Я§_ 5,6236 60,80 • 5,6236 60 8000 66,4236 .192 240,0 ll§_ 235,2 е) 35,4 • 1,99 + 35,4 = 35,4 * (1,99 + 1) = 35,4 • 2,99 = 105,846 х 35,4 ---1,_2_2_ • 3186 3186 ___llliL_ 105,846 ж} 3,2 *103 - 9,6 = 320 х 103 329,6 ----1,1_ ----2.,._о_ • 206 320,0 ___lQ1_ 329,6 з) 1,22 • 97 + 3,66 = 122 х 1,22 • 118,34 Nt""lr'i:l'n',5 ~ ~' F':;'10 t?l~\':VJ Yf'13/'•0·~'1"fп t1r-1'1'31';,:; r1e·~Г~"l'I н I No 807. а) 4,4 • 2 = 8,8 км ~~JDJ~п~ГoJм No 808. 12,б + 1,8 14,4 км/ч - скорость лодки по течению 12,6-1,8 10,8 км/ч - скорость лодки против течения а} 14,4 * 3 43,2 км - пройдет лодка за 3 ч по течению № 809. а) S =а* в= 3,6 * 4 = 14,4 см2 Wf;\~~35 о@@Ш №1810.a)V=a*b~*c=45*2,3*10~=1035*10~- О S(o)' ~· Ь 3 ~, 0 2 м' ~ ) E1J ~ \. • , ·),tJ ,f о 'i'-'i о ,0 ) tj ~ №811. а= 5 м - ширина класса Q9В,:~:Q ~ ГrJ@)M u~:~~r~:y~,:o~ 0 ш Ответ:258кг № 812. 3 * 3 * 3 = 27 см3 - объем алюминиевого шарика 27 * 2, 7 = 72,9 г - весит алюминиевый шарик №813. 7,5 * 0,7 = 5,25: бумаги получится из 7,S~мак л(с)), ы ~f4\i c,(QJ~~S~,C, о ~ J ~jei 5\:\ т ~иJ 4~3}цfв2fиrьГ\ ) tj l 4.6. Деление положительных десятичных дробей №815. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное~число нужно выполнить еление как п~Rту~и~сл~ания е ни ц~й и ча ном посувrтуз~я\~ ~ J О J ! ff1 п u tj № 816. Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную~дробь нужно в делимом и делителе "~J""'\'Y~'~"~"", ос 'i""!' в делит; .ле- а эагем выj)Л{иJtл~~~p~ьf9ejиfo·ffJ n U tj №82. а} i 60 ,м/о --------- 8" i 80км/ч ---------хч обра но пропорциональная зависимость * = ~; х в::0 = 1 "б = б ч проедет легковой автомобиль Wl~,~~Owfil ~ rr::J@M ul 5~ ,.V ~о\;:) ш о ропорционал я зависимость ~ = ~; х = 4•:0 = 40 : 5 = 8 дней потребуется 5 человекам Ответ: потребуется 8 дней № 820. а} 3,6: 3 = 1,2 6) 75,5 : 5 = 15,1 в} 1,24: 4 = 0,31 г) 2,53: 11 = 0,23 д) 7,81: 11 = 0,71 е) 13,2: 24 = 0,55 ~@~о@ № 822. а} 3,1: 0,1 = 31: 1 = 31 проверка: 31 • 0,1 = 3,1- верно 6) 7,21: 0,01 = 72: 1 = 72 проверка: 72 • 0,01 = 7,21- верно 00,01@1- , ·roo)71~c)4,~. ,О ш $:аь_ =5, + - Sp'i.- е про е_ · ~n,~ =-4, 2 -верно 9. 9. 4 , И e:J, . , 7-Юо о i . , • , - , 9 о проверка: 710 ,О = , - ерно № 828. а} 4: 0,5 = 40: 5 = 8 6}3: 0,2 =30: 2= 15 проверка: 8 * 0,5 = 4,0 - верно проверка: 15 * 0,2 = 3,0 - верно ·~~,1'7'\l~Q.", р о 0~4 , - рно • , = , - ерно № 829. а} 7,6: 0,2 = 76: 2 38 6}6,3: 0,3= 63: 3 21 проверка: 38 • 0,2 = 7,60- верно проверка: 21 * 0,3 = 6,3 - верно ~·З,2@-,. "W ~о,ер,~, @m- б _ -d. %_:_ ,7 ~ : _ О, о овер а: • о;~, - еµ, I , . о - 5-0 oi:, . , ,О¼о о р ) , . ,8=, : =, проверка: ,ODS*, =0, О-верно №83. 4т=4000кг ,:т:'::~:~~ ~Гп'\М ) ;, ~t±::)о~~~ш Ответ: 10 труды № 830. а) 0,21 : 0,84 = 21: 84 = 0,25 б} 0,19 : 0,095 = 190: 95 = 2 t?~Ш~о@@Ш о в}3,76 :0,4 =37,6 :4=9,4 г) 7,05: 1,5 = 70,5: 15 =4,7 _37,61..1_ _70,5..1..li_ u1~@ш~о@@ш д) 3,5: 0,4 = 35. 4 = 8,75 е) 25,9: 3,7 = 259: 37 = 7 _35,001..1_ 31 8,75 30 No 831. а} 1,75: 1,4 = 17,5: 14 = 1,25 6} 18,4: 7,36 = 1840: 736 = 2,5 70 JS)_ в} 16,92: 4,23 = 1642: 423 = 4 г) 86,1 : 2,46 = 8610: 246 = 35 д) 21,875 : 3,125 = 21875: 3125 = 7 е) 183,96: 5,256 = 183960: 5256 =35 _ 218751...lU.i_ _ 183960 ~ u&~Ш~о~Ш о № 833. а} 4,912: 16 + {18,305: 7 + 0,0368: 4} = 2,9312 ~~~~'oCs-i)Li 10 _2 35 _]_5_ 6} 72,492: 12 + 78,156: 36 - 120,03: 15 = 0,21 _ 72,492 UL _ 78,156 U_o_ _ 120,03 l12_ _ll_Q 8,002 30 _:ш II 6,041 II 2,171 49 61 -11! _м, 12 255 _п -121 36 • 6,041 _1,_Ш 8,212 в} 1,35 : 2,7 + 6,02 - 5,9 + 0,4: 2,5 • (4,2 0,075) 1,28 _ 13,5 lП_ _ 4,01-li_ + 0,50 4,200 х 4,125 ~ 0,5 11. 0,16 __§,Q1_ __Q,_QZ_5_ _____Q,1§_ 150 -1.iQ 6,52 4,125 • 24750 ~ 0,66000 6,52 + 0,62 ~ ____Q,__oo 0,62 1,28 r) 4,3 3,5 + 1,44: 3,6 + 3,6 1,44 • (0,1- 0,02) = 1,4 4,3 _ 14,41__}§_ _ 3601-.И1_ ,2,5 W&@~~o@@m/2~~ 0,10 .о,8 № 834. а} ¾ = З б 4 = 0,75 содержится 5 сотых ~~¾:; ::~~:~ ГrJ@)M L!i1.~0- : ~в~ о~ Ш д) 25 = : 25 = 0,12 содержится 2 сотых № 835. а} 19,95 • 199,6 = 1,995 • 1996 Придумываем задачу. № 836. Множители в левой и правой части равенства состоят из одинаковых цифр, их порядок 5 цифр, 254,3 "3,276 = 2,543" 327,6 №1 837. В произведении в левой части неравенства получится 3 + 3 = 6 знаков после запятой, в произведении в правой части равенства получится тоже 6 знаков после запятой, поэтому можно сравнить произведения, не обращая внимания на запятые: Примеры неравенств: 731,5 * 64,2 > 73,05 * 641 № 839.1 км= 1000 м № 84. а} 160 км/ч ---------- 40 с i х км/ч-- ----------ЗОс обратно пропорциональная зависимость {о = 3(); х = 4:~60 = 40 * 2 = 80 км/ч - скорость на обратном пути wm0'~QW ~@М u~ o~i!J9.~ \.2::) о ш о ра,а: оро;:р~=~:;,,~ ,:,,симосr? * = ~;х =1;:0 =f мин= 1½мин =1 мин 12с Ответ:заlмин 12с № 840. Пусть х т - весит бегемот, (х + О, 7) т - весит слон, г.к. их общая масса 8,3 т, составляем уравнение: х +х+О,7 =8,3 2х+О,7=8,3 3,8 + 0,7 = 4,5 т - весит слон Ответ: 3,8 т весит бегемот, 4,5 т весит слон № 841. а} 10,8: 2,4 = 108 24 = 4,5 км/ч _108,0ll.1_ 6) 9,9: 1,8 = 99: 18 = 5,5 км/ч _99,Оl_Ш_ № 843. Пусть х м2 - площадь 2 комнаты, (х + 5,2) м2 - площадь 1 комнаты, г.к. сумма площадей равна 34,8 м2, составляем уравнение: x+x+S,2=34,8 2х+5,2= 34,8 14,8 + 5,2 = 20 м2 - площадь 1 комнаты Ответ: 20 м2 и 14,8 м2 № 844. Пусть х км - осталось пройти пешеходу, 2х км - прошел пешеход, г.к. все расстояние 14,4 км, составляем уравнение: х+2х= 14,4 Ответ:9,бкм № 845. Пусть х р. - стоит пачка печенья, 5х р. - стоит коробка конфет, 4х р. - стоят 4 пачки печенья, 3 "5х = 15х р. - стоят 3 коробки конфет. Т.к. всего заплатили 66,5 р., составляем уравнение: 5 * 3,5 = 17,5 р. -стоит коробка конфет Ответ: 17,5 р. № 846. Пусть х км - приходится на 1 год возраста, "i5 км - ехал старший сын, "i;i км - ехал средний сын,~ км - ехал младший сын, т.к. весь путь 13,5 км, составляем уравнение: ..2:..+..2:..+..2:..= 135 15 12 10 ' 4х+::+бх = 13,5 ~r.\ Q ~ ~ ~@)М ~·~MЫ\JrJo~o~ ш 54: 15 3,6 км - проехал старший сын 54: 12 = 4,5 км - проехал средний сын 54: 10 = 5,4 км - проехал младший сын Ответ: 3,6 км, 4,5 км, 5,4 км Придумываем задачу. №847.l~@"'@WWoшQ~~"Y'" прод о ча по в ·e_:j 0-G~Ю (10, + ) = ,3 • = 3 ,9 км 2) Собственная скорость лодки 10,3 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. Какой путь проедет лодка за 4 часа против течения? (10,3 - 2) * 4 = 8,3 * 4 = 25,2 км 3) Скорость лодки по течению реки 18,5 км/ч, скорость течения реки 2,5 км/ч. Какова 21,5- 2 • 2,5 = 21,5- 5 = 16,5 км/ч 5) Скорость лодки по течению реки 32,5 км/ч, скорость течения реки 2,5 км/ч. Какой путь пройдет лодка против течения за 3 часа? (3~25-2'25 'З~-(3 - }'3°27,5~0 5,м 6 о т на ск о л дm~N о стьтrч прод тл ~а ч пр ти ~е 3 аR1еч 2• • 2, • + , -W+ № 848. а}13,7 + 2,2- 5,9 + 2,2 + 7,82 = 2,2 * (13,7-5,9) + 7,8 + 7,8 = 2,2 + 7,8 + 7,8 + 7,8 = rn~~w,h~,~·1,.~Q:7 ~ ~f·S,'\4\:_~~,Иs),~~~U № 849. а} 1,476+2,ОВ•4,05 = 5,5 49,9ЗВ:24,36-О,25 ,2,08 ~ ДО40 вза.. _ 4993,8 1 2436 4872 2,05 12180 12180 ~ 1,476 _ 2,05 --1hill ____Q,1i 9,900 1,80 _99,Оl_Ш. _2_Q 5,5 90 2Q 250 330 № 851. а} 1½- з¾* 0,2 = 1,5-3,25 * 0,2 = 1,5-0,65 = О,85 iJ,~1',1,6-w' 5° l,6-i,125@- · ~' -О,щ,65 i1~ 4•0' ~=9-rf-_ 15 -- *~* о -- 1• 2! ' 2 uo· 00 3 5 3 11• •1 1 : * =- 10 2._* *Р= ~ ~ - 5 N~¾im~cg@r~16 ---11.1 н х -: 1,5x=2½-zf 1,5х=½-¾ i¼x=9 №854.a)-f;=~ б)~=~ в}*=~ f;=*-f;=¾x 4,:•5=0,7*5=3,5 х=3,5 ~=~ ~=.!_х= l,B•BO = 02 *ВО= 16 х=lб 320 к 80 9 ' х = 2•7;~-25 = 2•1•1~:·0,01 = 2,7 * 5 * 0,01 = 13,5 * 0,01 = 0,135 г) х : 4,2 = ~: 6,3 д)~ e)2lj~ ж} 2¼: х = 3,5 : 1,5 з) 2х: 3,5 8: 7 и) 1,2х: 8=0,36: 5 х=О,135 х=О,9 х=2¼*1¾:3¾=~*;*¾=1 x=l х =3,5 • 8: 7: 2 = 28: 7: 2 =4: 2 = 2 х=2 х = 8 • 0,36: 5: 1,2 = 8 • 0,36: 6 = 8 • 0,06 = 0,48 х =0,48 4.7. Десятичные дроби и проценты N~::~:as:ы~:~:::~~Qg u~~ ы-i;'л@0~~№ r) 27% от числа 38 равны WO или 0,27 от 38, поэтому 38 • 0,27 = 10,26 № 856. а} число 540 составляет 27%, или --tio-, или 0,27 от неизвестного числа. Найдем это число: 540: 0,27 = 54000: 27 = 2000 б} число 300 составляет 27%, или -ti;-, или 0,27 от неизвестного числа. '°"~· ,~о "-зоо@'"' о 00~00-1111' Пu-:,_~ос т2,Vл :Vа,п /7еи в стg,ч л 9 ~ о: : 27= ;i~g@ r) число 2727 составляет 27%, или*°' или 0,27 от неизвестного числа. Найдем это число: 2727: 0,27 = 272700: 27 = 10100 № 858. 200 * 0,25 = 50 кг --сушеных из 200 кг свежих 3~~0 'СО,~~;~9,0 <Сс<УШШ'""" ю 3~60 нг свежих 5 одо 5= к ~ы 4, вежl-\_х О-5=7°те япи ш О № 859. 100- 65 = 35% массы остается ~35-~~~а~оо,~®Ш s'd \_О, 5 1 и "f}in с з 350 кг рае) *'t-3 = , _,,из аАJлу и ся 3С о а прямая пропорциональность ~ = :;; х 2:~4 = 9 * 2 = 18 деталей сделает ученик О~s.с18д~.а _- 'm""'"~Js@Ш ~ • д' -л---- ' " о та --- --tfx а в р за ть ~=f; х=~=;=l¼чпотратитученик Ответ: ученик потратит l¼ч № 860. 100- 85 = 15% массы остается после сушки а} 600 • 0,15 = 90 кг - сена получится из 600 кг травы ~1500 '~О,~0°~:~~,с-с:аа,":~::"',~"' 15;0,;;:~а~ы @tШ О;'\510: =1({3юг-О трав1н о л 100кгсена 1 3 : ООО = - aO-i е г сена 3,6: 0,15 = 3600: 15 = 24 т - травы нужно для получения 3,6 т сена № 861. а} 0,45 • 72 = 32,4- составляют 45% от 72 О, 72 • 45 = 32,4 - составляют 72% от 45 ~gi ";~~oa"fi\'IO зWо rr:J@M ,, 5 - ст юUо ~0~ L_5U , и поэт му 8 больше, чем 60% от 45 № 863. а} 0,20 * 80 + 80 = 16 + 80 = 96 № 864. а} 60-0,10 • 60 = 60-6 = 54 4.8. Сложные sадачи на проценты N~б 2ШО '@;- О 40°2 ~о исло по 4 --4>, + 4 - 8 f).9 - а исло вет О н пол ч т я, по и Q № 867. а} Используем формулу сложных процентов а * (1 + ~) * ( 1 + ~) = а* (1 + 0,2) * (1 + 0,2) =а* 1,2 * 1,2 = а * 1,44 No 868. а) а= 1,25 • в= 1~ • в - число а больше числа в на 25% = 1,32 • в= 1~ * в - число а больше числа в на 32% ~"~, • - исло бо~, ш~о·@ш 5 в= 2 •~ч ь~ и lgpa = -ч ло ~h 1, а =в+О,6 • в= 1,6 • в-число а больше числа в в 1,6 раз № 869. а} а • (1 + n • ~~)-формула простых процентов а~оол ж,, ,ба~, • +i'-"'- ~~l)~@@JШ''P"' б + 11о)- о слж~х ро нгев О а-ол ил в а 1 °}'= *12= •0 - а ичи сь 2,073браз № 87. а} 16 км пешеход- -------18 км велосипедист l 10 км пешеход -------- х км велосипедист прямо пропорциональная зависимость х = 10:18 = 10 * З = 30 км проедет велосипедист mo:~c~д~f,···~cew{a;J(h"\M 1 осп~~---~~~ш ро он m-i зависимость 18 2 2•6 2•1 2 6 = ;:; ; х = 18 = 3 = 3 ч потратит велосипедист Ответ: f ч потратит велосипедист № 870. 1 случай- банк начисляет простые проценты фmu;~"rь!w·~,д,CJG"\M ::~~~W)~°об~Ш 100000 + (1 + 2 + ~) = 100000 * (1 + 1,3) = 100000 * 2,3 = 230000 р. 230000-100000 = 130000 р. - наб месяцев 100000 + (1 + 4 + -flo) = 100000 * (1 + 1,2) = 100000 * 2,2 = 220000 р. 220000-100000 = 120000 р. - на 3 месяца Ответ: наибольший доход при вкладе на год, он равен 150000 р. СОД 100000 + (1 +~/ = 100000 * (1 + 0,65/ = 100000 * 1,652 = 272250 р. - станет на счету черезбмесяцев 272250-100000 = 172250 р. - доход через 6 месяцев 100~0 + 1 +--":,)'@;-1 0~1 + 1,з~·~ 00000•@'- ~@оо ·м-28561 p.- ст е ~):I ер а ц Г\ о 2856 О О- 8 р.- оЬlд е з ~ Отв . йд е н ца,онр енl р. № 871. Пусть х р. - вложенная сумма, 1,4х № 872. Пусть х - весил Обломов первоначально, на О,25х кг - он похудел х - О,25х = О,75х - стал весить после первого похудения ~О,75н~О,7~, :,о:rв' :90,75;~ 0;~5;,~0,9~,,-сr:л ::;:•@::о~;@";;;~ омр::,::и, весе Bi-x О, = 1@- = ,9 тал в с ть л\!)ор а ки в весе х,' ат о поху л о Ответ: Обломов похудел № 873. а} х - было производство, х + 2х = Зх - стало производство, т.е. величилось в Зраза. ~'~'foj"~cr~(~ "П'м'·····"' No 874. Пусть стороны прямоугольника было х, у, х, у, площадь была S = х • у; оро~о~а~,, ,1,,у@@Ш 'Шjд стл S lx ~1,х о п щ у ич cJJa О о, Q ~юр н реэу ""'""'"'· № 875. а} пусть стороны прямоугольника были х, у, х, у, тогда S = х *у-была площадь прямоугольника стали стороны прямоугольника 1,lx, 1,ly, 1,lx, 1,ly, тогда S = 1,lx * 1,ly = 1,21х *у-стала площадь прямоугольника 121-100= 21 поэтому площадь увеличилась на 21%. ~ · ло~,~на~ ~@Ш С,{Ь ТО О I М гr,ьн К I Х, у, у Т о х• бл о а ~муол иа Х,.: нь я оу ка , х, , y,Q2x, , у, тогд S = 1,2х * О,8у = О,9бх *у-стала площадь прямоугольника 100-96=4 поэтому площадь уменьшилась на 4%. Ответ: площадь уменьшилась на 4% № 876. пусть стороны прямоугольника были х, у, х, у, тогда S = х •у-была площадь прямоугольника ~л~f:~~@~:~::~~~~м uJтоуп~~~о~~ш Ответ: площадь увеличилась на 8%. № 877. пусть стороны прямоугольника были х, у, х, у, тогда S = х *у-была площадь прямоугольника стали стороны прямоугольника О,8х, а* у, О,8х, а* у, тогда S = О,8х * а *у= О,8х * а* у - стала площадь прямоугольника г.к. площадь прямоугольника не изменилась, то х *у= О,8х *а* у 12S-100 = 25 т.е. вторую сторону нужно увеличить на 25%. Ответ:увеличитьна25%. № 878. Пусть х - девочек в драмкружке, тогда О,8х -~мальчиков ~\Щ"Jfok]~~--G;,µ%,и л, ,л иl""I ~ J fт}еtч~1'~;РсВЬл1еуf2~т~ а ~ и~ ) t1 L № 879. 0,15 * 600 = 15 * 6 = 90 г соли в растворе 600 - 90 = 510 г - воды в 15% растворе m,с-еоды ,~,,:sом:ш:~~е, ,о~сда 0,1 • (90+@,) с90 @Ш 0= -м cf)o ы О аств р О Оr-в 1нуж Q Ответ; добавить 300 г воды № 880. 0,3 • 120 = 36 г - сахара в растворе Пусть х г - воды добавили, ~Е:~~ ~ ~ ГгJ@М U~~~н~D~ uu Ответ: добавить 60 г воды No 881. 0,8 • 700 = 560 r- олова в сплаве № 882. 0,4 • 500 = 200 г - кислоты в растворе Пусть х г - воды нужно добавить 0,25 • (500 + х) = 200 Ответ: нужно добавить 300 г воды № 883. Пусть х - дневное задание за 1 день, тогда за 2 дня он должен выполнить 2х, х + О,02х 1,02х - выполнил в 1 день, х + О,04х = 1,04х - выполнил во 2 день, 4.9. Десятичные дроби произвольного знака No 885. а} 2,1 + (-3,5) = - (3,5 - 2,1) = 1,4 ~1- ,1~, [ill--~ ГгJ@)М :\·9 ~ . , ·: "IJ" - - ~ о Ш , ,8 - , + , - 7,9 , - g е)-1,2- 3,5 =-(1,2 +3,5) =-4,7 № 886. а} 1,56 + (-8,28) = (8,28-1,56) = 6,72 6} -7,53 - 6,48 = (7,53 + 6,48} = 14,01 1, -5~- , ~8,i @@Ш ч» 17 Зс-0_, -[I\', }- ,0 о 1 2 5 1, ,900 8 а- ) , - ,48с- ,4 - , }с- , № 887. а} (-1,2) * 5 = (1,2 * 5) = 6 6)(-4,9): 7 = (4,9: 7) = 0,7 № 888. а} 4,16 5,1 * 3,2 = 4,16-16,32 = (16,32 - 4,16) = 12,16 б} 7,39 1,21: 1,1 = 7,39-(1,21 . 1,1) =7,39 -1,1 6,29 ~.,~ .. ~·lт-··о~@· w-·· ({ 6fl._ : ,5 -- ,f)2 } ,5 -2,5 2 - _ el ', . ,/-,: 6 -\с~:-4 О 8-0 _Q5 № 889. а) 44: (-2,5) - 6 * (4,3 * 0,8 - 3,7) = - 440: 25- 6 * (3,44 - 3,7) = - (440: 25) - 6 * (-(3,7 - 3,44)) = - -17,6-6*{-О,26)= 17,6+1,56= (17,6+1,56)= 16,04 61·m· -3,~.(-rn- 12~- ,6-2~-~- -м·-,)с = · (- 'Ъ.- 8 4 =- :1; ; i , 1 , + , I• , slJ,6 • ,5 з, С) • ,о 19+ , • - ,в+ 2,52 ° № 89. а} l 6 маляров ---------- 5 дней i х маляров ---------- 3 дня обратно пропорциональная зависимость ~ = ¾; х =~ = 5 * 2 = 10 маляров выполнят работу за 3 дня 10- 6 = 4 маляра нужно пригласить ~m' м, Р'"У ,rspиc с~ @@Ш р 6 --- -- О ней о ха очих--------Q я Q обратно пропорциональная зависимость ~ = ~; х = 2·:0 = 20 : 4 = 5 рабочих выполнят работу за 4 дня 5 - 2 = 3 рабочих нужно пригласить Ответ: нужно пригласить З рабочих № 890. а} (4,28+ 3,6 • (- 0,85)): (-0,4} = (4,28- 3,6 • 0,85): (-0,4} = (4,28-3,06}: (-0,4) = 1,22: (-0,4) = - -(1,22: 0,4) = 12,2: 4 = - 3,05 б} 7,68- 6,4: (-1,2 - 0,4) = 7,68 - 6,4: (-(1,2 + 0,4}} 7,68- 6,4: (-1,6) = 7,68 + 64: 16 = "1~8 ~~~ ~00 в} + , Ь,(- ,5 - , 3=7о-з }- ,7 0,3) - , -е= 4, -8, = с-( , +, - 9 о r)S, - , . , -6,3 =, - , . -{6,3-, =5,41-8,1:(-2, =5,41+81: =5,41+3= =8,41 № 891. а} (0,05 - 2,2 + 0,53}: 1,8 + 0,4 = - (2,2 - 0,53 -0,05): 1,8 + 0,4 = - (1,67 - 0,05): 1,8 + 0,4 = - - 1,62: 1,8 + 0,4 = - 16,2: 18 + 0,4 = - 0,9 + 0,4 = (0,9 - 0,4} = 0,5 б} 0,2 + (0,4 - 1,08 + 0,15} + 0,2 = 0,2 + (- (1,08- 0,4 - 0,15}) + 0,2 = = 0,2 * (- (1,08 - 0,55)) + 0,2 = 0,2 + (- 0,53) + 0,2 = - 0,2 * 0,53 + 0,2 = - 0,106 + 0,2 = :1Wif,A~1~,2~0~,D,2 - , {5)1' ~,25-0,231° ~)--~~~--~+~;q~:,1-~ _/ +4,2~0~,1)= - - 0,8 + 4,2 + (-(4,1- 0,05}) = 0,8 + 4,2 * (- 4,05}= - 0,8 - 4,2 * 4,05 = - 0,8 -17,01 = - -{0,8 + 17,01) = 17,81 № 892. а} О,4х = 3 х=3 :0,4 х=30 :4 6) 2х= 1,8 х = 1,8: 2 х =0,9 в}О,3х = 2,7 2,7 :0,3 Х=-27 :3 г) 1,5х= -10,5 10,5: 1,5 Х=-105: 15 Х=-12500 .~,&~)~ ~(s@Ш 2,03 а} (-654,84: 32,1- 35,568: (-3,42)): 2,5 = {-20,4 + 10,4): 2,5 = - (20,4-10,4) : 2,5 = 6} (-3,17 - 25,9632: 4,32) : (-74,358 24,3} = (-3,17 - 6,01) : (- 3,06) = (3,17 + 6,01}: (-3,06) = - - 9,18: (-3,06) = 918: 306 = 3 в) (2763,36: (-30,4) - 70,7): (714,07: 7,07) = (-27633,6: 304- 70,7}: (71407: 707) = = (-90,9- 70,7}: 101 = - (90,9 + 70,7): 101 = 161,6: 101 = 1,6 _ 27633611М_ _ 71407 llQL №895.а) (:::,l;u::~ = (;;)~ = -;~s = -0,;25 = -0,625:5 = -0,125 б} (~j;~::~:,::4 = (~~:::-,::0,04 ~О,04 = 12~ = 1~ = -~з = -* • * = б)lспособ. ¾: ¾= ~=¾ 11 способ. Умножим каждый член отношения на 20: ¾: ¾ = ~: ~ = 5 : 4 в}lспособ. ¾: ~=¾*¾=* 11 способ. Умножим каждый член отношения на 35: ~ . : - 1;s. 1;0 - ~:::: - ::: - 15 . 28 г)lспособ. ~: ¾=~*~=* ~~"'~ Умножим каждый член отношения на 34: *: 1½=*: ¾= 12;:4: 3•:4 =~=В: 17 е)lспособ. 1;: ¾=f: ¾=~=~=f=2 11 способ. Умножим каждый член отношения на 8: Nrot4fr-':12345~2~6)~789 r::"1~~ ~v('7=д2,~/1( (Г=~{i n 1г1//п5_(а~ 0 JI н I No902.a)~ {Jiы4~4 ~7,0~foh\М-2528"'0,13 N~f"{ll .. ~ ~6)~1 ... ,~~~ Yrч-2112,·P-2Ncc::; 1 n fl'7"Jl:0•6'!'(':'I n 11 н 1 №9О~Г\ б~ ~o~,J~~Jo,oos ,ur--1vл \ f~ l MW /n к~°+о~( е3-а1tрн r10,0100 №90~,,,,, 1~ ~99Р,;"'; 199~~~995,200 11rsf W\Cc fg{ п I P)J 1r97"7п'" 2~0f ~t @911,1~ '"12000 № '1"'1F.'!·R, ,~ ~аз~ 10з9.r"::'l,r7'1('~aз9,9 ~ ~~39/9J.O\ • 1°•ег=; l n 1f'"J"~ 10•~ l:::-'I n 11 н I 4.11. Приближение суммы, разности, произведения и частноrо двух чисел № 909. Чтобы вычислить произведение двух чисел, заданных десятичными дробями и 0~Jo/~o""~~- ss~" ц,фр~М°''до тр ь и jЧВ. й ~ Р. ат ~п у_ ноже и ч л~зу та в о ьокруглить ДОТ е ~ Ч И р . и о №91. а)5ч10мин=310мин ---------------Зlчасть № 910. Чтобы вычислить произведение двух чисел, заданных десятичными дробями и ~~~О~Н О~Й~ейцн~, @' mpy итъ их до ер uЗl!a Й 1,3 Т~В IПО И умное сер З Л Т Т НОВЬ r ~е т зн чЕЬlц ф ы. Q No 911. а) а= 3,28 = 3,3в = 0,11 = 0,1 а+ в= 3,3 + 0,1 = 3,4 а - в= 3,3 - 0,1 = 3,2 6) а =-1,256 =-1,3 в=2,555 = 2,6 а+ в= -1,3+2,6= 1,3 а-в= 1,3-2,6 = - 3,9 в) а= 0,010010 = 0,0 в= 0,2 = 0,2 а+в=-7,2+(-О,3}= 7,5 а-в=-7,2-(-0,3)= 7,2+0,3= 6,9 е}а= 6,373=-6,4 в= 8,765=-8,8 а+в=-6,4+(-8,8)=-15,2 а-в=-6,4-(-8,8}= 6,4+8,8 2,4 № 913. а} а= -2,435"' 2,44 ~З·~~~@@Ш • .а- ,4 • -- 6 - , о :. ,'' б~,, , .'!Z , ,, азе , , в=О,78788"'0,788 а • в= 2,15 • 0,788 = 1,6942 = 1,69 tfc~~~\o\tv·~rгJ0Ш a~~9f:~3~9=0,~7~ а : в= - 2,13 : (- 0,00929) = 2,13: 0,00929 = 213000: 929= 229,278794 ... = 229 t?&bl~IEi~Qo~@Ш № 914. а) а= 0,253 = 0,25 JrJ._;~r;;J,,~,Ci/ rr:J@)M ~~t':Уз~о~ ш в= - 0,00494 = - 0,0049 а • в= 3,6 • (- 0,0049) = - 0,01764 = - 0,018 ~i![~)~б~@@Ш а: в= - 0,045: (- 0,59} = 4,5: 59 = 0,0762711 ... = 0,076 i~~@:~Q(5@Ш Дополнения к rлаве 4 1. Вычисления с помощью калькулятора № 916. а} 6,325 + 1,5031 = 7,8281 № 917. а) 4,295 + 7,35 = 11,645 № 918. а) 5,728 + 4,25 - 20,134 = 24,344 - 20,134 = 4,21 б} 87,162: 4,38 + 13,78 = 19,9 + 13,78 = 33,68 §'~-, s@),о,~4,72@@Ш (Q,7h_9 · о, 27. - 6 2r)+ 3 1 -~ ,402 о I . , 5, 3k/9 5 9 2 о ё , ,3 - , = , 5 - , = - 0,045 ИЩЕМ ИНФОРМАЦИЮ №92. Это правило он называл строкой потому, что для механизации вычислений данные писались в строку Правильность механического решения зависит целиком от правильности записи данных ~':'"" ПРА~АО, се~е '"rn'"~"'"o~~e~,aaepsoe. ~ о о , , о .Dол , '1""1 о ,Q40 6 ~=o3~~~-f ; : 50- . ~2 вы о Тройное правило применяли при решении задач в средние века. № 920. а} 1 : 9 • 9:::: 0,9999999 ... - приближенный ответ. ~~:~:~о;@@Ш No 921. а} 891: 297 = 3 2. Процентные расчеты с помощью калькулятора NRG,J~o,,t:;;J,Q,W,л,slo7J@M ~ ½6f~0.,S\;:~1J,.Uo/ ~ 0 ~ ш №92З.~sp(rШ_s~,~}4s·~=11,2sp. №924. Цена товара до повышения, р. На сколько повысилась г цена товара, цена, р. р. №925. Величина вклада в начале I Величина вклада через месяц, месяца, р. р. №928. Цена товара до понижения, р. Новая цена товара, р. No 930. а) 80: 100 * 100 = 80% ~::::о~ s~~з~ ГгJ@)М Uibl О- зз@,з@о~ о ш № 932. Вычисляем по формуле сложных процентов № 933. Вычисляем по формуле сложных процентов No 934. Пусть х р. - было вложено денег, 2х р. - станет денег после удвоения, x*l,22=2x 3. Фиrуры в пространстве, симметричные относительно плоскости :;r?~~oCS@W 1 3 плоскости симметрии 6) ~~:~yf1~ ~":'@"@w ,) ~. т плосиостей симмегрии L?~~o@@W No 937. Фигура № 1- 5 плоскостей симметрии, у фигуры № 2- 2 плоскости симметрии. №938. imego~ct6,o@@Ш ffi 2 плоскости симметрии @ 5 плоскостей симметрии cZZtD I I I 1 плоскость симметрии № 942. Пусть х деревьев было в лесу, тогда из них О,99х - сосны, х - О,99х = 0,0lx - не сосны. Т.к. вырубили только сосны, например, вырубили у сосен, а количество деревьев, не являющихся соснами, не изменилось, но их стало 2%. (х -у) * 0,02 - стало не сосен, тогда (х -у) * 0,02 = 0,0lx ii"@1Q)0~ о@@Ш х=2у Разделим обе части на 2х, получим ; = ;' Ответ: может вырубить половину леса. № 943. lCI0-13 = 87% - сухого продукта SCIO* 0,97 = 435 г - сухого продукта 100- 25 = 75% - составляет сухой продукт при влажности 25% На х r-увеличилась масса, тогда имеем 5;::" = 0,75 3х=240 х = 80 г -увеличилась масса SCIO+ 80 = 580 г - масса вермишели при влажности 25%. Ответ: 580г. № 944. lCIO- 95 = 5%- составляет сухое вещество томатов 28 • 005 = 1,4 т - составляет сухое вещество томатов в 28 т х т - получилось томат - пасты, Ответ: 2 т томат - пасты № 945. lCIO %- была производительность труда, lCIO + 25 = 125 % - стала производительность труда Работа не изменилась, а время выполнения работы изменилось во столько же раз, во ско о,~ии~оро, одит ,и cro,p д"@@~ 1 О: 2 =КJ, - о т авя ро в итель о ь тр д@н й 1-0, О, = -те. емя е ил ьО2 Ответ:на20% № 946. Пусть х - собственная скорость лодки, у- скорость течения реки, х -у- скорость лодки против течения, 25 •у-проплывет шляпа за 25 мин, 25 • (х -у)- проплывет шляпа за 25 мин, т.к. лодка и шляпа удаляются друг от друга, то , еж~~~@~ 2 • + *Ах у= 5х =2 Kor а о к о у об а oJl л па а U от е oQp ь ,а дкабудет apиtm,M,m;t\.-n\eй коро + у, тогда скорость их сближения равна х +у-у= х Найдем время: (25х) : х = 25 мин - лодка догонит шляпу Ответ: они догонят шляпу через 25 мин после разворота № 947. а} Т.к. цифр всего 10, то для каждого замка может быть 10 • 10 • 10 1000 кодов и 2 * 1000 = 2000 с= зз½ мин. потребуется. 6) в одном замке 1000 кодов, 1: 1000 = 10100 - вероятность открыть один кодовый замок с 1 попытки 5, 6, 7, 8, 9, О, позтому кодов для открытия одного замка получится 3 • 2 • 8 48 кодов, 48 * 2 = 96 кодов для открытия двух замков. Ответ: а) з3¾ мин 6) 6 кодов, 12 КОДОВ в} 12 КОДОВ г) 48 КОДОВ, 96 КОДОВ №95. 1%=fo-o; 5%=fo-o*s=¾o=fo; 70%=fo-o*7o=Нo=-fo; t?Eiett~$t~~(!)ш № 950. 'E'"f":J"/""f'"~~-~ sceco~~,, ,о ее 10. Пo3io7xfТ't ь,1 ofиt 14н 1ъf)не1м~~онф1т· l~( n ) I н I №1 953. Если бы не было 3 человек с одинаковыми ошибками, то пусть, например, есть 2 человека с~~ш~, fv,'~cлo,~@" М"о ИЗВ СТН , (hB ла С О et{l.8 2 П ЭТОМУ б З ьеаЙ Ч ловена С оди "" 1"'f'1 о бо. И Q № 954. Пусть х лет было Васе, х + 3 года стало Васе, составляем уравнение 1,25 * х ь х э З 1,25х-х=3 Ответ: Васе 15лет № 955. а)Пусть х лет - было Ване, х + 2 года - сейчас Ване, г.к. он стал на 20% старше, составляем Х= 2 :0,2 х = 20: 2 = 10 лет - было Ване х-2=0,8х х-О,8х =2 Глава 5. ,.,. ~'f?T~o7;;:r~~or;,дpoбrr:rn;"~S::7'poб, №956~Н~г64з\~~~тrоDду~~~~е2и5. № 957. Для того, чтобы обыкновенную десятичную дробь можно было разложить в конечную ~:~"и":l;\об,~а~м~дQроб: се~, ш~~~ ~Ш~_J № 958. 1 способ: умножить числитель и знаменатель дроби на соответствующую степень числа 2 или числа 5, чтобы в знаменателе получилась некоторая степень числа 10. Примеры: з _ 3*25 _ 75 _ О 75 4 _ 4•2 _ В _ О В 4 4*25 100 ' 5 5•2 10 ' 2 способ: разделить числитель дроби на знаменатель «уголком» "~t:\o·'Q ~2~ ГгJ@)М U~~~о~ОШ __1Q 0,2 --12. 0,12 50 _;,Q No 959. а} f;;,; 64 = 26, число 2 6)-:iв; 48= 16 * 3 = 24* 3,числа 2 и 3 в)~; 56=7 * 8 =7 * 23, числа 7и 2 г)"'i4; 24=3*8=3*23,числа3и2 д)fzs; 128=27,число2 W&~fi)~ о@@Ш и)--fо; 10= 2 * 5, числа5 и 2 к)¾о; 100=22*52,числа5и2 л) 10100; 1000 = 23 • 53, числа 5 и 2 м) 10~00; 10000 = 24 * 54, числа 5 и 2 No 96. а}25% ¾о*25 =~=¾; Число25составляет¾от100. so ~ Uia," :,:~~:~:;:~@~ No 963. а}¾= ~:~:=Но = 0,25 _1,001..!_ ~ 0,25 20 _2Q 6)~=~=-fo=0,8 _ 4,0l.2._ AQ 0,8 в}~=~=f=~ =~= 1-fo= 1,6 _24,01.12 г) * = ~ = ~ = ::~~: = 1602:0 = 0,625 _15,001...И_ И1_ 0,625 60 ---'1J! 120 №~&c[ro) ~~0°@®ш О 120 .ш 80 Jill в}*-=3,2 _48,0~ _§ 3,2 30 _N 100 _J!() 200 _l_QQ ж}"iz = 0,25 _ 3,001-..!L_ ___и_ 0,25 60 r) 2:DO = 0,0015 _ 3,0000 l1QQQ_ 2000 0,0015 10000 10000 з} ~ = 0,125 _ 7,000 Uo_ _i§_ 0,125 140 20 в)~= 1,5 _3,0l_L_ .l_ 1,5 10 г)f = 1,8 _9,0l__2___ _2_ 1,8 40 W&@w~v@@@ 50 450 ж}-Ьlо = 0,085 _ 17 ,ООО 11QQ_ 1600 0,085 з}-W- = 6,15 _ 123,0011.Q 120 6,15 230 _1_QQ 300 __м__Q_ 200 200 240 _ 6251-.1l2_ _bl_i_ 5 г)~= 2,15 _860UQ.Q_ 800 2,15 д) * = 0,55 _ 33,0 L§Q_ 300 0,55 300 __eQQ е)1205264 = 4 _ 1024 И1.§_ 1024 4 ~&cirn ~~·es~ о о № 967. а}¾- нельзя, знаменатель имеет простой делитель 7 б}-;; = ¾-можно, 8 = 23 в}~= 11:з2 - нельзя, знаменатель имеет простой делитель 11 ж}* = ~-можно, 25 = 52 з) ~ = 3*;00 - нельзя, знаменатель имеет простой делитель 3 5.2. Бесконечные периодические десятичные дроби № 9бt"J'r",'ff'"'i'"o~~"~"" ~~~ле,ие ~v71'iкf'111 \исfит(М з1afra1e/ /n - t L;:'( о ) I Н I № 971. Если знаменатель обыкновенной дроби имеет только простые делители 2 и 5, то получится конечная десятичная дробь: :шo;,Z;J,~~pocrw@~,,s,ю :олvб66~о~~~~~ш 3 = 0,333 ... = о, (3) 9 = 0,1111 ... = о, (1) № 972.Для того, чтобы записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде WJ;l"'~'~""r?,би, "~го'\~ иулей, 5tJfu~~00~~0Ш № 973. а}¾= 0,333 ... = О, (3) период 3 6); = 0,222 ... = О, (2) период 2 в}~= 2,4 = 2,4(0) период О г) 12 = 12,(0) период О д)* = 0,8(0) период О е)¾; = 0,75 = 0,75(0) период О ъrii- (571mprn42~ ,~:s ,(~5~14285 . Q.1 6) п Q к 6 , зG о 3 р од3 = = 0, 0 О 0 0) 6 - ,6 0 ОД 6 н}*= 0,(48780) период48780 п) ii= О, (238095) период 238095 о)*= 0,(405) период405 № 976. а}*= 0,1212 ... = О, (12) период 12 ~д:z=:r·~"~ ~@)М u:~~tВ::д:J~Jo~ о ш ПРИДУМЫВАЕМ ЗАДАЧУ № 98. ~ = 9% работали в промышленности; 5.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби № 980. а) остатки О, 1 ~"&',:~:,· 0. ~ ГгJ@)М ui[c к 1,,3, ~о~ UU д и о, 1, , , , , , ,8 е) остатки О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Доказываем № 981. Остаток О не учитываем. ,.~инаковые ~риоде. Поэтому период может состоять не более, чем из (q -1) цифр. №1 982. а) кроме нуля, при делении на 7 может быть б различных остатков, поэтому в периоде может быть только б различных цифр т.к. одинаковые остатки дают одинаковые цифры в периоде, а один и тот же остаток не может дать две разные цифры в периоде. Ответ: цифр не более б разложение - периодическая дробь. №98~ Q)~8)~ ,1,~~~(6) trш~ ~~°\~ЛJ~4166 ___м _ш --11 80 ___П д) ¾ = 0,(142857) е) ¾ = 0,(714285} ж) f = 0,(285714) з}-fз =0,(03) 1,ои_ ~ ~MUL m~iQ)8~ ~ь(gjш_;,оз 20 30 40 ___и __ш _л 60 20 50 ---"" _и _1')_ 40 60 10 -1:, ---"" _J_ № 984. а} 1,(8) = 1,888 ... 10х = 18,888 ... 100 х =188,888 ... ~:/0',(~@~о@@Ш Ответ:1,(8)=1-9 б} 0,(3) = 0,333... lOx = 3,333... 100х = 33,333 ... 100х - l0x = 3,333... 0,333 ... = 3 9х=3 s ' х=-=, s Ответ:0,(3) в) 0,(7) = 0,777 ... 10х = 7,777... 100х = 77,777 ... 100х-10х=77,777 ... 0,777 ... 70 90х=70 ,о ' Х=-=- ,о , Ответ:0,(7) г) 3,(5) = 3,555... 10х = 35,555 ... 100х 355,555 ... 100х - l0x = 355,555... 35,555 ... = 320 90х=320 Х=~=~=З¾ Ответ: 3,(5) =3¾ д) 0,1(2) = 0,1222... 10х = 1,222... 100х = 12,222 ... 100х -10х = 12,222... 1,222 ... = 11 90х= 11 н Х=- ,о Ответ:3,(5) ~ е) 1,12(3) = 1,12333... 100х = 112,333... 1000х = 1123,333 ... 1000х -100х 1123,333 ... - 112,333... 1011 90х= 1011 Х=~=7* Ответ:7,5(4) 7* з) 0,(35) 0,3535... 100х 35,3535 ... 100х - х 35,3535... 0,3535... 35 99х=35 " X=- ,s Ответ:0,(35) ~ и) 0,(59) 0,5959... 100х 59,5959 ... 100х - х 59,5959. - 0,5959... 59 99х=59 " X=- ,s Ответ: 0,(59) =* к) 0,(12) = 0,1212... 100х 12,1212 ... 100х - х = 12,1212... 0,1212... 12 99х= 12 " ' Х=-=- 99 33 Ответ: 0,(12) =ij л) 1,0{12) = 1,01212... 10х = 10,1212 . 1000х -10х = 1012,1212... 10,1212 . 990 Х= 1002 X=~09002=ffi=l¾s Ответ:1,0(12)=1-d-s м} 8,7(21) = 8,72121 ... 10х = 87,2121 . 1000х -10х = 8721,2121 ... - 87,2121 . 1000х = 1012,1212 ... 1000х = 8721,2121 ... № 985. а} 0,3(9) = 0,3999... lOx = 3,999... lCIOx = 39,999 ... l00x - l0x = 39,999... 3,999 ... 90х=36 " ' Х=-=- ,о s ~~-',~-· , "~·3(9)~-. @Ш ,,./с ,2 ,О W9 ... 00,с 2,9 "О xl 12,99 .. ~--- Q 9х= X=~=*=l,3 поэтому 1,2(9} = 1,3 5.4. Непериодические бесконечные десятичные дроби № 986. а) рациональное число, это число, которое можно представить в виде обыкновенной §i~"'@j"-§"~меs~-~есомож,о и а 8J;1 е 6 с н о т н е иоди ее ov о и Р о л йд: :,,о о!1сл,' о, о fJ' о о ,'r), 6 о чной в) рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа ПРИДУМЫВАЕМ ЗАДАЧУ № 989. T~)'/""',;"""~a~cr~, др~~~"""""• .о этo~prцt0ria~нfe t~ 1 n 1 7 /п _ t С:::( 0 ) I н I №99. а}lм=lСЮсм; fсю•100=1см; № 990. а) 0,275 - рациональное 6) 0,(2) - рациональное m~ .. ц~~@@Ш раи ль:f'I о 1 11 . ~~р н о 67 ... рци льно №991. а}З,4, 5, 34,125 6) 13; 45; 1½; 23,003 в)-12; - 4,15; -13¾; - 3452; 3,59 r)-23;0; 32: -54; 1432 и) 3, 5, 7, 13 к) 6, 25, 34, 84, 144 л) 3, 9, 12, 15, 21 м} 10, 20, 30, 40, 50 5.5. Действительные числа № 994. а) 13,(27) = 13,27272727 ... 2 - цифра пятого разряда 7 - шифра шестого разряда 2 - цифра седьмого разряда 6) 17,12345678 ... 2 - цифра пятого разряда 1 - шифра шестого разряда 2 - цифра седьмого разряда No 998. Модуль (абсолютная величина) действительного числа а обозначается I а 1- Это расстояние от начала координат до точки а. № 999. Любое положительное действительное число больше отрицательного и нуля. 11,4>-57,7 wrA~;~s~бor~"7 у ,o~~F7 u;~~ё3,~о~~~~~